[論文レビュー] Non-negative perturbations of non-negative self-adjoint operators

V. M. Adamyan|ArXiv.org|Jan 2, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、稠密に定義された非負対称作用素 $ A_0 $ の非負自己共共役拡張の一意性に関する基準を確立し、特定の欠陥部分空間に関する条件が満たされない場合にのみ、このような拡張が一意であることを示している。この基準を $ \mathbb{L}_2(\mathbf{R}_n) $ におけるラプラシアンおよび多調和作用素の特異的摂動に適用し、2次元では標準ラプラシアンが唯一の非負拡張であるのに対し、3次元以上では無限に多くのこのような拡張が存在することを証明している。

ABSTRACT

Let $A$ be a non-negative self-adjoint operator in a Hilbert space $\mathcal{H}$ and $A_{0}$ be some densely defined closed restriction of $A_{0}$, $A_{0}\subseteq A eq A_{0}$. It is of interest to know whether $A$ is the unique non-negative self-adjoint extensions of $A_{0}$ in $\mathcal{H}$. We give a natural criterion that this is the case and if it fails, we describe all non-negative extensions of $A_{0}$. The obtained results are applied to investigation of non-negative singular point perturbations of the Laplace and poly-harmonic operators in $\mathbb{L}_{2}(\mathbf{R}_{n})$.

研究の動機と目的

• 非負自己共役作用素 $ A $ が、稠密に定義された閉作用素制限 $ A_0 \subset A $ の唯一の非負自己共役拡張である条件を特定すること。
• 一意性が成立しない場合に、$ A_0 $ のすべての非負自己共役拡張を特徴づけること。
• この基準を $ \mathbb{L}_2(\mathbf{R}_n) $ におけるラプラシアンおよび多調和作用素の特異的点摂動に適用すること。
• 2次元と3次元における非負特異摂動の存在に関する不一致を解明すること。

提案手法

• 対称作用素のスペクトル論を用いて、欠陥部分空間 $ \mathcal{N} = \mathcal{H} \ominus \mathcal{M} $（ここで $ \mathcal{M} = (I + A_0)\mathcal{D}(A_0) $）に基づく基準を導出する。
• 非負拡張の存在および一意性を決定する量 $ G_1 = \|e_0\|^2 \cdot \|(I + A)e_0\|^{-1} $ および $ G_2 = \|(I + A)^{-1/2}e_0\|^2 $ を導入する。
• クリーン拡張理論の枠組みを用いて、$ A_0 $ のすべての非負自己共役拡張の集合を区間 $[A\_\mu, A_M]$ としてパラメータ表示する。
• フーリエ変換を用いてラプラシアン $ -\Delta $ および多調和作用素 $ (-\Delta)^l $ に基準を適用し、$ \mathbb{R}^n $ 上の積分可能性条件に問題を還元する。
• 積分 $ \sin^2(\frac{1}{2}\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}_0)/(1 + k^2)^2 $ および関連する表現の収束性を分析し、非負拡張の存在を決定する。
• 非負拡張の存在が次元 $ n $ および多調和作用素の次数 $ l $ に依存することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負自己共役作用素 $ A $ が、稠密に定義された対称制限 $ A_0 \subset A $ の唯一の非負自己共役拡張である条件は何か？
• RQ2 非負自己共役拡張 $ A_0 $ の完全な集合は、$ A $ が一意でない場合にどのようなものか？
• RQ3 なぜ2次元ラプラシアンには唯一の非負拡張があるのに対し、3次元ラプラシアンには無限に多くの非負拡張があるのか？
• RQ4 次元 $ n $ および多調和作用素の次数 $ l $ は、非負特異摂動の数にどのように影響するか？

主な発見

• 非負自己共役拡張が一意であるための必要十分条件は $ G_2 = 0 $ であり、ここで $ G_2 = \|(I + A)^{-1/2}e_0\|^2 $、$ e_0 $ は欠陥部分空間の生成元である。
• $ G_2 > 0 $ のとき、$ A_0 $ の非負自己共役拡張は1パラメータ族として存在し、$ A $ は区間 $[A_\mu, A_M]$ の最大元である。
• 2次元ラプラシアンでは $ G_2 = \infty $ であるため $ G_1 = 0 $ となり、標準ラプラシアンを超える非負特異摂動は存在しない。
• 3次元では $ G_1 > 0 $ かつ $ G_2 < \infty $ であるため、無限に多くの非負拡張が存在し、$ A $ はその最大元である。
• 多調和作用素 $ (-\Delta)^l $ に対しては、$ n < 2l $ ならば無限に多くの非負拡張が存在し、$ (-\Delta)^l $ は最小元である。
• もし $ n = 2l $ ならば、標準作用素を超える非負拡張は存在せず、$ n > 2l $ ならば $ (-\Delta)^l $ は無限に多くの非負拡張の中の最大元である。