[論文レビュー] Non-Noether symmetries in Hamiltonian Dynamical Systems

George Chavchanidze|ArXiv.org|May 3, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 42被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン系における非ノネル対称性と保存則、可積分性構造を結びつける幾何的枠組みを確立する。非ノネル対称性が自然にラクス対、双ハミルトニアン構造、双複体を生成することを示し、関連する保存量の対合性を保証するヤン・バクスター型方程式を導入する。応用例として、トーダ鎖やKdV方程式といった可積分モデルが挙げられる。

ABSTRACT

We discuss geometric properties of non-Noether symmetries and their possible applications in integrable Hamiltonian systems. Correspondence between non-Noether symmetries and conservation laws is revisited. It is shown that in regular Hamiltonian systems such a symmetries canonically lead to a Lax pairs on the algebra of linear operators on cotangent bundle over the phase space. Relationship between the non-Noether symmetries and other wide spread geometric methods of generating conservation laws such as bi-Hamiltonian formalism, bidifferential calculi and Frolicher-Nijenhuis geometry is considered. It is proved that the integrals of motion associated with the continuous non-Noether symmetry are in involution whenever the generator of the symmetry satisfies a certain Yang-Baxter type equation. Action of one-parameter group of symmetry on algebra of integrals of motion is studied and involutivity of group orbits is discussed. Hidden non-Noether symmetries of Toda chain, nonlinear Schrodinger equation, Korteweg-de Vries equations, Benney system, nonlinear water wave equations and Broer-Kaup system are revealed and discussed.

研究の動機と目的

• ノネルの定理を越えて、非ノネル対称性がハミルトニアン系において果たす幾何的役割を明確化すること。
• 正則ハミルトニアン系において、非ノネル対称性と保存則の間の対応関係を確立すること。
• 非ノネル対称性を、ラクス対、双ハミルトニアン形式、双複体といった主要な可積分性構造と統一すること。
• 非ノネル対称性によって生成される保存量の対合性を保証する十分条件（ヤン・バクスター型方程式）を導出すること。
• KdV、非線形シュレーディンガー方程式、ベンニー方程式といった主要な可積分系に隠れた非ノネル対称性を明らかにすること。

提案手法

• リュッツキーの定理（非ノネル対称性と保存則）を双ベクトル場とポアソン構造を用いて再定式化する。
• ポアソン双ベクトルと対称性生成子から、余接 bundle 上にラクス対を構成する。
• 保存量の対合性を保証するため、対称性生成子を含むヤン・バクスター型方程式を導入する。
• リー微分を用いて、1つの非ノネル対称性から無限列の保存則を生成する。
• ポアソン双ベクトルの変形を介して、非ノネル対称性と双ハミルトニアン構造の対応関係を確立する。
• 対称性から特別な双複体を構成し、無限次元設定におけるド・ラーム複体を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ノネル対称性は、正則ハミルトニアン系においてどのように保存則を生成するか？
• RQ2 非ノネル対称性と自然に関連する幾何的構造（ラクス対、双ハミルトニアン系、双複体など）は何か？
• RQ3 非ノネル対称性によって生成される保存量の族が対合的であるための条件は何か？
• RQ4 非ノネル対称性を用いて、双ハミルトニアン階層といった既知の可積分性構造を再構成または解釈できるか？
• RQ5 非ノネル対称性は、KdV やベンニー階層といった無限次元可積分系にどのように現れるか？

主な発見

• 非ノネル対称性は、ポアソン双ベクトルと対称性生成子を用いて、余接 bundle 上に自然にラクス対を生成する。
• 非ノネル対称性によって生成される保存量は、対称性生成子が特定のヤン・バクスター型方程式を満たす場合に、対合的である。
• ベンニー系の対称性 (15) は、リー微分を繰り返し適用することで、無限列の保存量 $ J^{(0)} = \int w\,dx $, $ J^{(1)} = 2\int v\,dx $, $ J^{(2)} = 8\int u\,dx $, などを生成する。
• 同じ対称性は、ポアソン双ベクトル $ W $ のリー微分 $ \hat{W} = [E, W] $ を通じて、ベンニー系に双ハミルトニアン構造をもたらす。
• ベンニー系の保存則は、1-形式 $ s $ が $ E = W(s) $ を満たし、$ [W[W(s),W](s)] = \frac{1}{2}[W(s),W](s) $ を満たすため、定理8の対合性基準を満たしており、対合的である。
• 非ノネル対称性がフロリッヒァー・ニヘンイウス作用素と双複体構造を裏付けることが示され、このような幾何的対象が可積分系における隠れた対称性から生じうることを示唆する。