[論文レビュー] Non-normal purely log terminal centres in characteristic $p \geq 3$

Fabio Bernasconi|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の素数 $p \geq 3$ に対して、Kodairaの消去法則に反するTotaroのFano多様体を用いて、次元 $2p+2$ の完全に対数終票的対 $(Z, S)$ を構成する。この対は非正規なplt中心 $S$ を持つ。主な貢献は、正標数においてplt中心が正規でないことがあることを示し、特徴零標数における性質を反証するとともに、この設定においてHacon-Mäc Kernanの持ち上げ補題が成立しないことを示したことである。

ABSTRACT

In this note we show, building on a recent work of Totaro, that for every prime number $p \geq 3$ there exists a purely log terminal pair $(Z,S)$ of dimension $2p+2$ whose plt centre $S$ is not normal.

研究の動機と目的

• 特徴零標数においてそうであるように、正標数におけるplt中心が常に正規であるかどうかを調査すること。
• 次元3より大きい場合や標数2より大きい場合に、正標数における既知の病理的性質をさらに拡張すること。
• 特徴零標数のMMPからの期待とは対照的に、$p \geq 3$ に対してplt中心の正規性が一般に成り立たないことを示すこと。
• 正標数において、多様体の$\mathrm{pluri}$-log-canonical形式に関するHacon-Mäc Kernanの持ち上げ補題が失敗することを示すこと。
• $H^2(\mathcal{O}_Z)$ が消えない終端Fano多様体を構成し、新たなコhomologicalな病理的性質を明らかにすること。

提案手法

• Kodairaの消去法則に反する、$H^1(X, \mathcal{O}_X(A)) \neq 0$ かつ $-K_X = 2A$ を満たす次元 $2p+1$ の滑らかFano多様体のTotaroの構成を活用する。
• そのFano多様体 $X$ のアフィン錐 $Z = C_a(X, \mathcal{O}_X(A))$ を構成し、次元 $2p+2$ の終端特異点を得る。このとき、ある除斥 $S$ に対して $K_Z + S \sim 0$ が成り立つ。
• 正規化写像 $\nu: S^\nu \to S$ の非全射性を用いて、$S$ が正規でないことを示す。これは、制限写像における $H^0$-全射性の失敗に依拠する。
• 射影バンドル $Y = \mathbb{P}_X(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{O}_X(-A))$ 上での相対標準バンドルの性質と射影公式を適用し、$-K_Y$ の正則性を検証する。
• $-K_Y$ の零点集合が空であることを示し、$-K_Y$ が非常に正則であることを証明する。これにより、$Y$ がFanoであることが示される。
• 錐構成のコhomological性質を用いて、終端Fano多様体 $Z$ に対して $H^2(Z, \mathcal{O}_Z) \neq 0$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数 $p \geq 3$ において、plt中心は特徴零標数と同様に常に正規であるのだろうか？
• RQ2 正標数におけるKodairaの消去法則の失敗は、plt中心が非正規になり得ることを示唆するのだろうか？
• RQ3 正標数において、多様体の$\mathrm{pluri}$-log-canonical形式に関するHacon-Mäc Kernanの持ち上げ補題は失敗するのだろうか？
• RQ4 次元 $n$ のplt中心が正規であるような $p_0(n)$ の上限が存在するのだろうか？
• RQ5 正標数における終端Fano多様体 $Z$ は常に $H^2(\mathcal{O}_Z) = 0$ であるのだろうか？それともこの群が非ゼロになり得るのだろうか？

主な発見

• 任意の素数 $p \geq 3$ に対して、次元 $2p+2$ の完全に対数終票的対 $(Z, S)$ が存在し、$S$ は正規でない。
• plt中心 $S$ は、終端特異点を持つアフィン多様体 $Z$ 上の素数除斥であり、$K_Z + S$ はCartierである。
• 任意の $m \geq 0$ に対して、制限写像 $H^0(Y, \mathcal{O}_Y(m(K_Y + S^Y))) \to H^0(S^Y, \mathcal{O}_{S^Y}(mK_{S^Y}))$ は全射でない。これはHacon-Mäc Kernanの持ち上げ補題の失敗を示している。
• 次元 $2p+2$ の終端Fano多様体 $Z$ が存在し、$H^2(Z, \mathcal{O}_Z) \neq 0$ である。この多様体はTotaroのFano多様体の射影錐として構成される。
• 射影バンドル $Y = \mathbb{P}_X(\mathcal{O}_X \oplus \mathcal{O}_X(-A))$ はFanoであり、$-K_Y$ は非常に正則かつ大である。これにより、錐のFano性が裏付けられる。
• この構成により、正標数におけるFano多様体のKodairaの消去法則の失敗が確認され、この失敗が直接的に非正規なplt中心を生じることを示している。