[論文レビュー] Non parametric threshold estimation for models with stochastic diffusion coefficients and jumps

Cecilia Mancini|ArXiv.org|Jul 17, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、離散観測に基づき、確率的ボラティリティおよびジャンプを伴う拡散過程の統合ボラティリティ（IV）を推定する非パラメトリックなしきい値ベースの手法を提案する。データ駆動のしきい値を超えるジャンプを特定することで、有限活動および無限活動ジャンプ過程の両方において、リバランス効果や不規則なサンプリングが存在する状況でも一貫したIV推定量が得られ、有限活動ジャンプでは漸近正規性が確立され、パワー変動推定量よりも効率的である。

ABSTRACT

We consider a stochastic process driven by a diffusion and jumps. We devise a technique, which is based on a discrete record of observations, for identifying the times when jumps larger than a suitably defined threshold occurred. The technique allows also jump size estimation. We prove the consistency of a nonparametric estimator of the integrated infinitesimal variance of the process continuous part when the jump component with infinite activity is Levy. Central limit results are proved in the case where the jump component has finite activity. Some simulations illustrate the reliability of the methodology in finite samples.

研究の動機と目的

• 離散観測に基づき、確率的拡散係数およびジャンプを伴うモデルにおける統合ボラティリティ（IV）を推定する非パラメトリック手法の開発。
• ジャンプ成分が有限活動（FA）の場合、ジャンプの発生時刻およびサイズを特定し、ジャンプ成分が無限活動（IA）の場合には大規模なジャンプを検出する。
• ドリフトおよび拡散係数に最小限の仮定を置き、リバランス効果や非等間隔観測を含む状況でもIV推定量の一貫性を確立する。
• 有限活動ジャンプの下でIV推定量およびジャンプサイズ推定量の漸近正規性を証明し、従来の「リバランスなし」の仮定を超えて結果を拡張する。
• 複数のシミュレーテッドモデル（確率的ボラティリティおよびLévy型ジャンプ成分を含む）において、推定量の有限標本性能を実証する。

提案手法

• 実現増分 $\Delta_i X = X_{t_i} - X_{t_{i-1}}$ に対してしきい値ベースの手順を適用し、しきい値 $r(h)$ を超えるジャンプが発生する区間を特定する。
• しきい値 $r(h)$ は $h^{\gamma}$ と設定され、$\gamma \in (0.5, 1)$ であり、ジャンプ成分と拡散成分の漸近的分離を保証する。
• 統合ボラティリティ推定量は $\hat{IV} = \sum_{i} (\Delta_i X)^2 \cdot \mathbf{1}_{\{(\Delta_i X)^2 \leq r(h)\}}$ として定義され、ジャンプに起因すると考えられる大きな増分を除外する。
• 有限活動ジャンプの場合、各区間における最大増分を用いてジャンプ時刻を特定し、ジャンプサイズを推定する。
• Barndorff-Nielsen et al. (2005) および Barndorff-Nielsen & Shephard (2006) の結果を用いて $\hat{IV}$ の漸近正規性を導出する。これは一般の拡散ダイナミクス下で有効である。
• 本手法はリバランス（拡散成分とジャンプ成分の相関）および非等間隔観測に対してもロバストであり、一部の先行手法とは異なり、これらの状況でも有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限活動および無限活動ジャンプ成分を伴う状況下でも、非パラメトリックなしきい値手法が統合ボラティリティを一貫して推定可能か？
• RQ2 ジャンプ過程が有限活動の場合、ジャンプ時刻およびサイズを非パラメトリックに推定する方法は何か？
• RQ3 リバランスおよび非等間隔観測が存在する状況でも、しきい値によるIV推定量は一貫性および効率性を保つのか？
• RQ4 有限活動ジャンプの仮定下で、IV推定量およびジャンプサイズ推定量の漸近的分布的性質は何か？
• RQ5 有限標本において、しきい値手法はバイアスおよび分散の観点からパワー変動推定量およびカーネルベース推定量よりも優れているか？

主な発見

• しきい値推定量 $\hat{IV}$ は、リバランスや非等間隔観測が存在する状況でも、有限活動および無限活動ジャンプ成分の両方において一貫性を示す。
• 有限活動ジャンプの場合、本手法は漸近的に正しいジャンプ時刻を特定し、ジャンプサイズの一致推定量を提供する。
• $\hat{IV}$ の漸近分布は、平均がゼロで分散が $\frac{2}{3}\sum_i (\Delta_i X)^4 \mathbf{1}_{\{(\Delta_i X)^2 \leq r(h)\}}$ の正規分布であり、シミュレーションで理論的極限と一致する。
• 同じ条件下で、Cramér-Rao下界の観点から、しきい値推定量はマルチパワー変動推定量よりも効率的である。
• シミュレーションにより、$\hat{IV}$ の正規化バイアス項が、定常ボラティリティに複合ポアソンジャンプを加えたモデル、相関ジャンプを伴う確率的ボラティリティモデル、およびボラティリティ・ガンマジャンプモデルの3つのモデルすべてにおいて標準正規分布に収束することが示された。
• しきい値が時間的に変化しても、本手法は依然として有効であり、実際の金融データへの実用的応用性が向上する。