[論文レビュー] Non-perturbative Schottky problem and stable equations for the hyperelliptic locus

Giulio Codogni|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、ランク24、32、48の特定の偶数、単模、正定値二次形式から構成されるシータ級数の差が、 principally polarized abelian varieties のモジュライ空間内でのハイパーオービック領域にちょうど消失することを確立している。Satakeコンパクト化の境界の幾何的性質と、積に関するモナド構造を用いて、ハイパーオービック領域に消失する安定モジュラー形式のイデアルが、このような差によって生成されることを証明している。

ABSTRACT

It is well known that, fixed an even, unimodular, positive definite quadratic form, one can construct a modular form in each genus; this form is called the theta series associated to the quadratic form. Varying the quadratic form, one obtains the ring of stable modular forms. We show that the differences of theta series associated to specific pairs of quadratic forms vanish on the locus of hyperelliptic Jacobians in each genus. In our examples, the quadratic forms have rank 24, 32 and 48. The proof relies on a geometric result about the boundary of the Satake compactification of the hyperelliptic locus. We also study the monoid formed by the moduli space of all principally polarised abelian varieties, the operation being the product of abelian varieties. We use this construction to show that the ideal of stable modular forms vanishing on the hyperelliptic locus in each genus is generated by differences of theta series.

研究の動機と目的

• ハイパーオービック領域に消失する安定モジュラー形式を同定することにより、非摂動的ショットキー問題に取り組むこと。
• すべての生成数においてハイパーオービック領域に消失する安定モジュラー形式のイデアルを特徴づけること。
• ハイパーオービック領域のSatakeコンパクト化の境界と、シータ級数の差の消失との間に幾何的関係を確立すること。
• principally polarized abelian varieties のモジュライ空間におけるモナド構造が、このイデアルをシータ級数の差によって生成できることを示すこと。

提案手法

• ランク24、32、48の偶数、単模、正定値二次形式からシータ級数を構成すること。
• Satakeコンパクト化の境界の幾何的性質を用いて、このようなシータ級数の差がハイパーオービック領域でどのように消失するかを分析すること。
• principally polarized abelian varieties のモジュライ空間における、アーベル多様体の積を演算とするモナド構造を活用すること。
• このモナド構造を用いて、ハイパーオービック領域に消失する安定モジュラー形式のイデアルが、シータ級数の差によって生成されることを証明すること。
• 二次形式を変化させることで得られる安定モジュラー形式の環を活用し、関連するモジュラー形式を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての生成数において、どの安定モジュラー形式がハイパーオービック領域に消失するか？
• RQ2 このようなモジュラー形式のイデアルを代数的にどのように生成できるか？
• RQ3 シータ級数の差の消失を規定するSatakeコンパクト化の境界の幾何的性質は何か？
• RQ4 principally polarized abelian varieties のモジュライ空間におけるモナド構造を、ハイパーオービック消失形式のイデアルの生成に用いることができるか？
• RQ5 ランク24、32、48の特定の二次形式から構成されるシータ級数の差が、ハイパーオービック領域に消失するすべての安定モジュラー形式のイデアルを完全に捉えられるか？

主な発見

• ランク24、32、48の特定の偶数、単模、正定値二次形式のペアに関連するシータ級数の差は、すべての生成数においてハイパーオービック領域に消失する。
• ハイパーオービック領域に消失する安定モジュラー形式のイデアルは、このようなシータ級数の差によって生成される。
• ハイパーオービック領域のSatakeコンパクト化の境界の幾何的構造が、これらの差の消失を証明する上で重要な役割を果たす。
• principally polarized abelian varieties のモジュライ空間におけるモナド構造が、アーベル多様体の積を用いてこのイデアルの生成を支援する。
• この構成により、安定モジュラー形式の環が、ハイパーオービック領域の非摂動的ショットキー問題を解くために必要なモジュラー形式を捉えていることが確認された。