[論文レビュー] Non-productive duality properties of topological groups

Masasi Higasikawa|ArXiv.org|Jun 13, 2001

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、N. Nobleが示した『双対性の性質 X(1) および X(2) — 『すべての閉部分群は双対的に閉じている』および『すべての閉部分群は双対的に埋め込まれている』— が位相群の任意の直積において保存されるという主張を反証する。整数の加法群に、$2^n$ および $3^n$ が 0 に収束するようにする位相を導入することで、著者たちは反例を構成する。各因子は両性質を満たすが、その直積は両性質を満たさず、指数型ディオファントス方程式からの有限性結果を用いて対角部分群が閉かつ離散的であることを証明する。

ABSTRACT

We address two properties for Abelian topological groups: ``every closed subgroup is dually closed'' and ``every closed subgroup is dually embedded.'' We exhibit a pair of topological groups such that each has both of the properties and the product has neither, which refutes a remark of N. Noble. These examples are the additive group of integers topologized with respect to a convergent sequence as investigated by E.G. Zelenyuk and I.V. Protasov. The proof for the product relies on a theorem on exponential Diophantine equations.

研究の動機と目的

• N. Nobleが広く引用されているが誤りであるとされる、双対性の性質 X(1) および X(2) が位相群の任意の直積において保存されるという主張に反論すること。
• X(1) および X(2) を満たす2つの位相群の直積が、それらの性質を満たさないような明示的な反例を構成すること。
• $\mathbb{Z}\{2^n\} \times \mathbb{Z}\{3^n\}$ の対角部分群が閉かつ離散的であることを確立すること。これは双対性の性質が成立しないことの鍵となる。
• 指数型ディオファントス方程式の結果を応用し、直積群の位相的構造に必要な有限性条件を証明すること。
• S-単数方程式から導かれる適切に構成されたノルムの族を用いて、反例を距離空間の設定へ拡張すること。

提案手法

• $\mathbb{Z}\{p^n\}$ を、$p^n \to 0$ となるようにする、最も強い群位相として定義する。これはホモモルフィズムの連続性に関する普遍性を用いる。
• Zelenyuk および Protasov の閉部分群および $\mathbb{Z}\{p^n\}$ の特徴の特徴づけを用いて、各因子が X(1) および X(2) を満たすことを確認する。
• S-単数方程式の有限性定理（シーゲルの定理の特別な場合）を用いて、非消滅部分和条項を満たす $\pm p^{m_i}$ および $\pm q^{n_j}$ の和としての整数の表現が有限個しか存在しないことを示す。
• $\{p^n\}$ 上の非増加関数 $\delta$ を用いて $\mathbb{Z}$ 上にノルム $||\cdot||_\delta$ を定義し、p-進位相と最も強い位相の間の厳密に中間の距離位相を定義する。
• $\delta(p^n)$ および $\epsilon(q^n)$ を、$p^n \in F(p,q,s)$ を満たす最小の $s$ を用いて定義し、$\mathbb{Z}$ の非ゼロ元 $u$ が混合表現を持つ場合に $||u||_\delta \geq 1$ および $||u||_\epsilon \geq 1$ が成り立つように保証する。
• S-単数解の有限性を用いて、$||u||_\delta < 1$ かつ $||u||_\epsilon < 1$ を満たす非ゼロ $u$ が存在しないことを示し、$\mathbb{Z}_\delta \times \mathbb{Z}_\epsilon$ の対角が離散的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 『すべての閉部分群は双対的に閉じている』という性質（X(1)）は、位相群の任意の直積において保存されるか？
• RQ2 『すべての閉部分群は双対的に埋め込まれている』という性質（X(2)）は、位相群の任意の直積において保存されるか？
• RQ3 X(1) および X(2) を満たす2つのアーベル群およびハウスドルフ空間である位相群の直積が、それらの性質を満たさないことはあり得るか？
• RQ4 指数型ディオファントス方程式は、このような群の直積の位相的構造を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 双対性の性質の非保存性を示す距離空間の反例を構成することは可能か？

主な発見

• $\mathbb{Z}\{2^n\} \times \mathbb{Z}\{3^n\}$ は、各因子が X(1) および X(2) を満たすにもかかわらず、両性質を満たさない。これにより Noble の主張が反証される。
• $\Delta = \{\langle u,u \rangle : u \in \mathbb{Z}\}$ という対角部分群は、$\mathbb{Z}\{2^n\} \times \mathbb{Z}\{3^n\}$ において閉かつ離散的である。これは双対性の性質が成立しないことを示す上で重要なステップである。
• 証明は、S-単数方程式の有限性結果に依拠している：非消滅部分和を持つ $\sum e_i p^{m_i} = \sum f_j q^{n_j}$ の解は有限個しか存在しない。
• 距離構成において、混合表現を持つすべての非ゼロ $u$ に対して $||u||_\delta \geq 1$ および $||u||_\epsilon \geq 1$ が成り立つ。これにより、$\mathbb{Z}_\delta \times \mathbb{Z}_\epsilon$ における対角が離散的であることが保証される。
• 反例は距離空間の設定へ拡張可能である：$\delta$ および $\epsilon$ が十分にゆっくり減少するように選ぶと、$\mathbb{Z}_\delta \times \mathbb{Z}_\epsilon$ も X(1) および X(2) を満たさない。
• $\mathbb{Z}\{p^n\}$ はフレシェ＝ウリスホー空間ではなく、距離化可能でもないが、距離版 $\mathbb{Z}_\delta$ は $\mathbb{Z}\{p^n\}$ と同じ閉部分群および特徴を持つ。