[論文レビュー] Non-proper complete minimal surfaces embedded in H^2 x R

M. Magdalena Rodríguez, Giuseppe Tinaglia|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 内で垂直移動または双曲的・放物的スクリューモーションに関して不変である、非固有で完全な最小曲面の広いクラスを構成する。ジェンキンス＝セリンの定理と測地的境界におけるシュバルツ反復を用いて、商空間内で有限な全曲率を持つヘリコイド的＝シェルク型の例を生成し、Calabi-Yau予想および $ℂ^3$ における固有性に関する結果が $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ に拡張されないことを示している。

ABSTRACT

Examples of complete minimal surfaces properly embedded in H^2 x R have been extensively studied and the literature contains a plethora of nontrivial ones. In this paper we construct a large class of examples of complete minimal surfaces embedded in H^2 x R, not necessarily proper, which are invariant by a vertical translation or by a hyperbolic or parabolic screw motion. In particular, we construct a large family of non-proper complete minimal disks embedded in H^2 x R invariant by a vertical translation and a hyperbolic screw motion and whose importance is twofold. They have finite total curvature in the quotient of H^2 x R by the isometry, thus highlighting a different behaviour from minimal surfaces embedded in R^3 satisfying the same properties. And they show that the Calabi-Yau conjectures do not hold for embedded minimal surfaces in H^2 x R.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 内で非固有である可能性を含めた完全で埋め込み最小曲面を構成し、そのような曲面の分類におけるギャップを埋めることである。
• 埋め込み最小曲面に対するCalabi-Yau予想が $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ では成り立たないことを示し、$ℂ^3$ における状況とは対照的である。
• 商空間内で有限全曲率を有する場合でも、それが固有性を意味しないことを示し、$ℂ^3$ における結果とは対照的である。
• 双曲空間における反射原理およびジェンキンス＝セリン型境界値問題を用いて、既知の最小曲面の構成を一般化すること。

提案手法

• 構成は、$ℂ^2$ のポincare円板モデルにおける測地的多角形上への最小グラフから出発し、境界上での値が 0、$h$、および $+\infty$ である三辺をもつ。このとき、ジェンキンス＝セリンの定理を用いる。
• 基本的領域は、境界の水平測地線に沿った連続的なシュバルツ反復によって拡張され、垂直線に沿った境界をもつ simply-connected 最小曲面が得られる。
• 得られた曲面は、垂直移動および回転と垂直シフトの合成によって得られる双曲的スクリューモーションに関して不変である。
• 垂直線に関して反復した後、両方の等長変換に関して不変な完全で埋め込み最小曲面が得られ、これをヘリコイド的＝シェルク型例と呼ぶ。
• 理想多角形（無限遠点に頂点を持つ）と交互に $\pm\infty$ の境界値を用いることで、放物的スクリューモーションに関して不変な曲面への一般化がなされる。
• 境界関数 $f$ を弧上に許容することで非周期的例が構成され、回転および反復対称性を用いて、グラフに類似しない埋め込み最小曲面が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商空間内で有限全曲率を有する $ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 内の完全で埋め込み最小曲面は、必ず固有であるのだろうか？
• RQ2 非固有で完全な最小曲面が、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 内で有限全曲率を有する例として存在しうるか？ その場合、どのように構成できるか？
• RQ3 $ℂ^3$ における埋め込み最小曲面に対するCalabi-Yau予想が、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ の設定にどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 双曲空間における反射原理およびジェンキンス＝セリン境界値問題は、特定の等長変換対称性を有する新しい最小曲面族の構成にどのように寄与するか？

主な発見

• 著者らは、垂直移動および双曲的スクリューモーションに関して不変である、非固有で完全な最小ディスクの広い族を構成した。これらはヘリコイド的＝シェルク型例と呼ばれる。
• これらのヘリコイド的＝シェルク型例は、非固有であるにもかかわらず、垂直移動または双曲的スクリューモーションによる商空間内で有限全曲率を有する。
• このような例の存在は、$ℂ^2 \times \mathbb{R}$ 内の埋め込み最小曲面に対してCalabi-Yau予想が成り立たないことを示しており、Colding と Minicozzi の $ℂ^3$ における固有性に関する結果が拡張されないことを示している。
• シュバルツ反復およびジェンキンス＝セリン解を用いた構成により、曲面が非固有であっても、商空間内で有限全曲率を有する最小曲面が得られる。これは $ℂ^3$ とは顕著な相違点を示している。
• 放物的スクリューモーションに関して不変な一般化された例も構成され、これらは商空間内で有限全曲率を有し、文献に既知の例を特別な場合として含む。
• 境界関数 $f$ を弧上に連続関数として許容し、回転および反復対称性を用いることで、非周期的例が得られ、グラフに類似しない埋め込み最小曲面が得られる。