[論文レビュー] Non-regularised inverse finite element analysis for 3D traction force microscopy

José J. Muñoz|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

Cellular Mechanics and Interactions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元ひずみ力顕微鏡（3D TFM）の非正則化逆有限要素法を提示し、多くの一般的な3次元幾何形状、メッシュ、荷重条件において安定化処理の必要性を排除する。離散的平衡方程式の正確な可解条件を導出することで、標準的な直接有限要素問題と同等の計算コストに抑えつつ、場の次元が特定の適合性基準を満たす場合に一意かつ正確な解を保証する。

ABSTRACT

The tractions that cells exert on a gel substrate from the observed displacements is an increasingly attractive and valuable information in biomedical experiments. The computation of these tractions requires in general the solution of an inverse problem. Here, we resort to the discretisation with finite elements of the associated direct variational formulation, and solve the inverse analysis using a least square approach. This strategy requires the minimisation of an error functional, which is usually regularised in order to obtain a stable system of equations with a unique solution. In this paper we show that for many common threedimensional geometries, meshes and loading conditions, this regularisation is unnecessary. In these cases, the computational cost of the inverse problem becomes equivalent to a direct finite element problem. For the non-regularised functional, we deduce the necessary and sufficient conditions that the dimensions of the interpolated displacement and traction fields must preserve in order to exactly satisfy or yield a unique solution of the discrete equilibrium equations. We apply the theoretical results to some illustrative examples and to real experimental data. Due to the relevance of the results for biologists and modellers, the article concludes with some practical rules that the finite element discretisation must satisfy.

研究の動機と目的

• 3次元ひずみ力顕微鏡における正則化逆有限要素法の不安定性と高い計算コストを解消すること。
• 逆有限要素解析において正則化が不要となる安定的かつ一意的な解が得られる条件を同定すること。
• 離散的平衡方程式を正確に満たすために必要な、変位および力の有限要素場の次元に関する理論的基準を導出すること。
• 実験的およびシミュレートされた3次元設定において、正確で効率的なひずみ力再構成を可能にする実用的ガイドラインを提供すること。

提案手法

• 有限要素法を用いてひずみ力問題の直接変分式を離散化する。
• 逆問題を、観測された変位と計算された変位の誤差関数の最小二乗最小化として定式化する。
• 補間された変位場および力場の次元に、正則化なしに一意かつ正確な解を得るための必要十分条件を同定する。
• 導出された条件を用いて、代表的な例および実験データを用いて手法の妥当性を検証する。
• 理論的枠組みを基に、3次元 TFM における有限要素メッシュおよび要素タイプの選択に関する実用的ルールを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ひずみ力顕微鏡の逆有限要素解析において、どのような条件下で正則化を省略できるか？
• RQ2 変位および力の有限要素場の次元的関係は、離散的平衡方程式に対して一意かつ正確な解を保証するためにどのような条件を満たすべきか？
• RQ3 一般的な3次元幾何形状および荷重シナリオにおいて、正則化の欠如が逆問題の計算コストおよび安定性にどのように影響するか？
• RQ4 提案された非正則化手法は、実験的データに対しても、正則化手法と同等の精度でひずみ力を再構成できるか？
• RQ5 正則化なしに可解性と正確性を保証するための、有限要素離散化に向けた実用的ルールはどのようなものか？

主な発見

• 多くの一般的な3次元幾何形状、メッシュ、荷重条件において正則化は不要であり、標準的な直接有限要素解析と同等の計算コストで逆問題を直接解くことが可能になる。
• 正確かつ一意な解を得るための必要十分条件は、補間された変位場と力場の次元的適合性に基づいて導出された。
• 場の次元が導出された適合性基準を満たす場合、安定化処理なしに離散的平衡方程式が正確に満たされる。
• 本手法は、合成データおよび実験的データの両方から高精度で力場を再構成でき、非正則化手法の有効性が裏付けられた。
• 3次元 TFM 応用において、正則化なしに可解性と正確性を保証するための有限要素離散化に関する実用的ルールが確立された。