[論文レビュー] Non-Reidemeister Knot Theory and Its Applications in Dynamical Systems, Geometry, and Topology

Vassily Olegovich Manturov|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、ケーブル理論における新しい枠組みを提示する。伝統的な Reidemeister 移動の代わりに、水平三等分線と自由 $k$-ブレード群に基づく不変量を用いることで、力学系、ブレード、幾何的対象に対して絵画的価値を持つ不変量を可能にする。主な貢献は、$k$-良い性質（例：3次元空間における同一直線上に並ぶこと）が臨界時刻を介して安定的かつ計算可能である不変量を保証する一般定理の証明である。応用分野は位相幾何学、微分幾何学、力学系理論に及ぶ。

ABSTRACT

Classical knot theory deals with {\em diagrams} and {\em invariants}. By means of horizontal {\em trisecants}, we construct a new theory of classical braids with invariants valued in {\em pictures}. These pictures are closely related to diagrams of the initial object. The main tool is the notion of {\em free $k$-braid group}. In the simplest case, for free $2$-braids, the word problem and the conjugacy problem can be solved by finding the minimal representative, which can be thought of as a graph, and is unique, as such. We prove a general theorem about invariants of dynamical systems which are valued in such groups and hence, in pictures. We describe various applications of the above theory: invariants of weavings (collections of skew lines in $\R^{3}$), and many other objects in geometry and topology. In general, provided that for some topological objects (considered up to isotopy, homotopy etc) some easy axioms (coming from some dimensional constraints) hold, one can construct similar dynamical systems and picture-valued invariants.

研究の動機と目的

• 図の移動ではなく幾何的配置に基づいて、ケーブルおよびブレードの不変量を再考する非-Reidemeister的手法を開発すること。
• 粒子配置の $k$-良い性質に基づいて、力学系の不変量を構築する一般枠組みを確立すること。
• 古典的ケーブル理論およびブレード理論を、組合せ的絵画および自由 $k$-ブレード群に値を持つ不変量を含むように拡張すること。
• 織物、$\mathbb{R}P^3$ 上の射影的直線、球面上の測地線配置といった新しい幾何的対象に理論を適用すること。
• 最小代表グラフによるビッグオン削減を用いて、自由 $2$-ブレードにおける語問題および共役問題を体系的に解く手法を提供すること。

提案手法

• 配置空間 $\Sigma^n$ 上の $n$ 個の粒子の集合に対して、遺伝的および推移的閉包条件を満たす $k$-良い性質を定義する。
• $k$ 個の粒子が $k$-良い性質 $\mathcal{P}$ を満たす臨界時刻 $t \in [0,1]$ を特定し、臨界配置の多重インデックスを形成する。
• 各力学系 $D$ をそのタイプ $\tau(D)$ に結びつける。ここで $\tau(D)$ は、各 $k$-組の粒子についての順序付き臨界時刻の列である。
• 三等分線の交差とビッグオン削減に基づく生成子と関係式からなる自由 $k$-ブレード群 $G_n^k$ を構成する。
• 隣接する反対向きの交差を削除するビッグオン削減を繰り返し適用することで、一意な最小代表グラフが得られ、これは自由 $2$-ブレードの完全不変量となる。
• 非退化性条件を満たす適切な設定において、さまざまな幾何的状況にこの枠組みを適用する：$\mathbb{R}^3$ ではねじれの直線（織物）を、$\mathbb{R}P^3$ では射影的直線を、$S^2$ では測地線を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力学系の不変量を、数値的または代数的不変量ではなく、組合せ的絵画的価値に持たせることは可能か？
• RQ2 粒子配置における $k$-良い性質が、自由 $k$-ブレード群の文脈で、安定的かつ計算可能な不変量を生じる条件は何か？
• RQ3 水平三等分線の理論をどのように用いることで、Reidemeister 移動に依存せずに、古典的ブレードおよびケーブルの不変量を定義できるか？
• RQ4 織物や測地線配置のような対象に対して、自由 $k$-ブレード構成が非自明な不変量を生じるための位相的および幾何的制約は何か？
• RQ5 ビッグオンのグラフ論的削減を用いて、自由 $2$-ブレードにおける語問題および共役問題をアルゴリズム的に解くことは可能か？

主な発見

• 自由 $2$-ブレードでは、反復的ビッグオン削減によって得られる一意な最小代表グラフを用いて、語問題および共役問題が解ける。
• 快適な力学系 $D$ のタイプ $\tau(D)$ は、$k$-組の各粒子についての臨界時刻の順序付き列として定義され、同相型の下で完全不変量を形成する。
• $k=3$ の場合、この理論は $\mathbb{R}^3$ 内のねじれの直線（織物）および $\mathbb{R}P^3$ 上の射影的直線に対する不変量を生じる。直線が水平になると追加の関係が生じる。
• この枠組みは高次元配置へ一般化可能である。$\mathbb{R}P^{m+2}$ 内の $m$ 次元平面に対しては、$k=2m+1$ とし、共通の交差線によって定義される $k$-良い性質を用いる。
• 2次元球面では、対蹠的点を除外し、測地線がペアによって一意に定まる条件のもとで理論が成立し、三重重なりの整合性が保証される。
• 等式が $k$-良い性質を定義する場合、この方法を用いて判別空間の基本群を研究できる。