[論文レビュー] Non-Relativistic Conformal and Supersymmetries

P. A. Horváthy|ArXiv.org|Jul 3, 2008

Crystallography and Radiation Phenomena被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、共変的に一定の零ベクトルを有する5次元零拡張バーグマン時空において、カルラツァ＝クライン構成を用いて非相対論的共形対称性（シュレーディンガー群）を導出する。この幾何的構造における質量ゼロのディラック方程式を簡約化することで、スピン1/2粒子のレヴィ＝レブロン方程式が得られ、さらに osp(1,1) スーパーシンメトリーと組み合わせることで、非相対論的量子力学における共形対称性と超対称性を統合したスーパーシュレーディンガー代数を構成する。

ABSTRACT

Non-relativistic conformal (''Schrödinger'') symmetry is derived in a Kaluza-Klein type framework. Lightlike reduction of the massless Dirac equation from 5D Minkowski space yields Lévy-Leblond's non-relativistic equation for a spin 1/2 particle. Combining with the osp(1,1) SUSY found before provides us with a super-Schrödinger symmetry.

研究の動機と目的

• 拡張バーグマン時空に零等長対称性を有する幾何的枠組みに基づき、非相対論的共形（シュレーディンガー）対称性群を導出すること。
• この幾何的設定において、5次元質量ゼロディラック方程式の簡約として、スピン1/2粒子のレヴィ＝レブロン方程式が導かれる仕組みを示すこと。
• シュレーディンガー対称性と保存されたフェルミオン的荷重から生成される osp(1,1) 超対称性を組み合わせることで、スーパーシュレーディンガー代数を構成すること。
• ディラックモノポール場の存在下でも、結果として得られるスーパーシュレーディンガー対称性が破れることなく保たれることを示すこと。これにより、パウリハミルトニアンの既知の対称性が拡張されることを示す。

提案手法

• 5次元の拡張時空 M = R × R³ × R を用い、平坦な計量 g = d**r² + 2dt ds と零キリングベクトル ξ = ∂ₛ を導入し、バーグマン幾何を形成する。
• 波動関数に質量を符号化するための条件 ∂ₛΦ = imΦ を課し、5次元ラプラス方程式 ΔgΦ = 0 を3次元自由シュレーディンガー方程式に簡約する。
• 零ベクトル ξ と計量をWeyl因子の上でのみ変える共形等長変換を保つ等長変換を構成し、時間移動、ガリレオブースト、拡大、拡張を含む拡張シュレーディンガー代数の生成子を導出する。
• 特定のガンマ行列構造を用いて5次元質量ゼロディラック方程式 D̸Ψ = 0 を簡約し、スピン1/2粒子のレヴィ＝レブロン方程式を導出する。
• ヘリシティ演算子とシュレーディンガー生成子との交換関係から、保存されたフェルミオン的荷重 Q と S を特定し、これらが osp(1,1) 超代数を形成することを示す。
• 超荷重が拡張シュレーディンガー代数に閉じることを検証し、{Q,Q} = 2H、{Q,S} = -2D、{S,S} = 2K などの特定のgraded交換関係を含む一貫したスーパーシュレーディンガー代数が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 零余剰次元を有する高次元幾何的枠組みから、非相対論的共形対称性（シュレーディンガー群）をどのように導出できるか？
• RQ2 5次元質量ゼロディラック方程式が、非相対論的量子力学におけるスピン1/2粒子のレヴィ＝レブロン方程式を生成する役割は何か？
• RQ3 osp(1,1) 荷重による超対称性の導入がシュレーディンガー代数に与える影響は何か？また、その結果得られるスーパーシュレーディンガー代数の構造はどのようなものか？
• RQ4 ディラックモノポール場が導入された場合、シュレーディンガー群のどの対称性が破れず保たれるか？また、それらはレヴィ＝レブロン方程式およびパウリ方程式とどのように関係するか？
• RQ5 外部電磁場、特にディラックモノポールの場合に、スーパーシュレーディンガー代数は一貫して実現可能か？

主な発見

• 非相対論的共形対称性（シュレーディンガー群）は、5次元バーグマン時空における零等長対称性 ξ = ∂ₛ を保存する制約下で、O(5,2) の13次元部分群として生じる。
• スピン1/2粒子のレヴィ＝レブロン方程式は、拡張バーグマン幾何における5次元質量ゼロディラック方程式の簡約として導出される。
• フェルミオン的荷重 Q = 1/√(2m) σ·p と S = √(m/2) r·σ - tQ は、osp(1,1) 超共形代数に閉じており、一貫したスーパーシュレーディンガー代数を形成する。
• スーパーシュレーディンガー代数は、H, D, K, J, b, p, m を含む拡張シュレーディンガー代数に加え、特定のgraded交換関係を持つ奇数生成子 Q と S を補完する。
• ディラックモノポール場が存在する場合、スーパーシュレーディンガー対称性は破れず保たれる。これは、関連する対称性（SO(3) × SL(2,R)）が計量と電磁ポテンシャルの両方を保存するためである。
• 調和振動子系は、時間再パrametrization τ = (1/ω) tan(ωt) を用いることで、自由粒子運動と共形的に同値であり、すべての対称性が保存される。