[論文レビュー] Non-relativistic proofs of the spin-statistics connection

Anil Shaji, E. C. G. Sudarshan|ArXiv.org|Jun 4, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、第二量子化および非相対論的量子場理論を用いて、相対性理論に依存しないスピン統計則の接続の非相対論的証明を提示している。この接続は相対性ではなく、ラグランジアンのSU(2)不変性に起因することを示している。この証明により、相対性理論的因果律やローレンツ不変性を仮定しなくても、三次元空間においてフェルミオンとボソンがそれぞれフェルミ・ディラック統計およびボーズ・アインシュタイン統計に従うことが示された。

ABSTRACT

A recent paper by Peshkin [1] has drawn attention again to the problem of understanding the spin statistics connection in non-relativistic quantum mechanics. Allen and Mondragon [2] has pointed out correctly some of the flaws in Peshkin's arguments which are based on the single valuedness under rotation of the wave functions of systems of identical particles. We examine carefully the claim that is made in the title of [2] that there can be ``no spin-statistics connection in non-relativistic quantum mechanics''. We show that we can derive the spin statistics connection for non-relativistic quantum field theories which have equations of motion of the Hamiltonian type based on SU(2) invariance of the Lagrangian. The formalism and machinary of non-relativistic quantum field theory as opposed to usual quantum mechanics is necessary for constructing our proof.

研究の動機と目的

• スピン統計則の接続が相対論的量子場理論を用いずに導けるかどうかという長年の議論を解決すること。
• 『非相対論的量子力学にはスピン統計則の接続が存在しない』という主張に反論し、厳密な代替的導出を提供すること。
• ハミルトニアン型の運動方程式を持つ非相対論的場理論において、スピン統計則の接続がSU(2)不変性から生じることを示すこと。
• 場の形式的枠組みが、力学的過程や回転に関する議論とは独立して、粒子交換と統計を捉える役割を明確にすること。
• パラ統計が現れる条件を検討すること。ただし、標準的なボーズ＝アインシュタイン統計およびフェルミ＝ディラック統計に焦点を当てる。

提案手法

• 多数体系を扱えるようにするため、第二量子化および非相対論的量子場理論を用いて粒子交換を一般に取り扱う。
• 最小作用の原理を、SU(2)変換に対して不変なラグランジアンに適用し、場のレベルでの回転対称性を保証する。
• ハミルトニアン形式の一次方程式系から正準場変数を構成し、動的変数と制約変数を区別する。
• 場の再定義と運動項の対角化を用いて、場演算子の粒子交換における変換性を分析する。
• 内部インデックスにおける反対称化が負ノルム状態を生じることを示し、ユニタリティを保つためにそれらを除外することで、標準的統計が回復されることを示す。
• ダフィン＝ケイマー形式を用いてスピン0、スピン1/2、スピン1の場をモデル化し、SU(2)不変性が保たれる限りスピン統計則の接続が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ不変性や相対論的因果律を仮定せず、非相対論的量子場理論においてスピン統計則の接続を導けるか？
• RQ2 ラグランジアンのSU(2)不変性だけが、異なるスピンを持つ粒子に対して正しい統計（フェルミ・ディラックまたはボーズ・アインシュタイン）を導くのに十分か？
• RQ3 場理論的枠組みが、回転や断熱的輸送に関する議論とは独立して、粒子交換対称性を捉える役割は何か？
• RQ4 負ノルム状態がどのような条件下で現れ、標準的統計を保つためにどのように除外できるか？
• RQ5 この枠組みはパラ統計を扱えるか？もし可能であれば、標準的ボーズ＝フェルミ統計とはどのように異なるか？

主な発見

• ハミルトニアン型の運動方程式を持つ非相対論的量子場理論において、ラグランジアンがSU(2)不変であれば、スピン統計則の接続を厳密に導ける。
• この証明は相対論的場理論、ローレンツ不変性、回転による波動関数の単-valued性に関する仮定を一切必要としない。
• 粒子交換は幾何的回転ではなく、場理論的演算として——粒子の消滅と再生成——として扱われる。
• 負ノルム状態の出現は内部インデックスにおける反対称化に起因し、標準的フェルミ・ディラック統計およびボーズ・アインシュタイン統計を回復するためには、それらを除外する必要がある。
• この形式的枠組みは三次元空間においてスピン0、スピン1/2、スピン1の場を自然に扱え、統計則 $ P_{12} = (-1)^{2s} $ がすべてのスピンで成立する。
• パラ統計は最小作用の原理を一般化することで組み込むことができるが、本論文では物理的明確性と関連性を高めるために、標準的統計に焦点を当てる。