[論文レビュー] Non-removable sets for quasiconformal and locally biLipschitz mappings in R^3

Christopher J. Bishop|ArXiv.org|Jun 3, 1998

Analytic and geometric function theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ハウスドルフ次元2の完全不連結集合 $ E \subset \mathbb{R}^3 $ を構成し、それがクアサイスフォーマルおよび局所バイリプシッツ写像に対して除去可能でないことを示している。構成法により、$ \mathbb{R}^3 $ 上でクアサイスフォーマルでないが、$ E $ の外ではクアサイスフォーマルであるような $ \mathbb{R}^3 $ のホメオモルフィズムが得られ、このような集合が位相的に小さいにもかかわらず、グローバルなクアサイスフォーマル性を妨げる可能性があることを示している。

ABSTRACT

We give an example of a totally disconnected set E in R^3 which is not removable for quasiconformal homeomorphisms, i.e., there is a homeomorphism f of R^3 to itself which is quasiconformal off E, but not quasiconformal on all of R^3. The set E may be taken with Hausdorff dimension 2. The construction also gives a non-removable set for locally biLipschitz homeomorphisms.

研究の動機と目的

• クアサイスフォーマル写像に対して除去可能でない集合の存在を示すこと。これは、小さいか完全不連結な集合は除去可能であるという直感に反するものである。
• ハウスドルフ次元2のコンパクトで完全不連結な集合 $ E \subset \mathbb{R}^3 $ の具体的な例を構成し、クアサイスフォーマルホメオモルフィズムに対して除去可能でないことを示すこと。
• 非除去可能性の結果を、より広いクラスの局所バイリプシッツ写像に拡張し、同様の障害が存在することを示すこと。
• 完全不連結な集合が $ \mathbb{R}^3 $ 内で次元2未塔のものについてはクアサイスフォーマル写像に対して除去可能であるという予想に反する反例を提供すること。

提案手法

• $ \mathbb{R}^3 $ 内で、繰り返し球体を除去する方法により、注意深く設計されたカントール型集合を構築する。この方法により、位相的不連結性が保たれるとともに、ハウスドルフ次元が制御される。
• 集合 $ E $ が、グローバルなクアサイスフォーマル性を妨げるような、収束する形での共形歪みの系列を支持するように構成する。
• $ \mathbb{R}^3 \setminus E $ 上にクアサイスフォーマルホメオモルフィズムを定義するが、$ E $ の近傍で歪みが無限大に発散するため、$ \mathbb{R}^3 $ 全体への拡張が不可能になる。
• 写像の偏角が $ E $ 内の点列で発散するという事実に依拠し、これによりグローバルにクアサイスフォーマル条件を満たさない。
• 同様の構成を、局所バイリプシッツ写像に対しても適応し、$ E $ の近傍で局所バイリプシッツ定数が発散するように保証することで、非除去性を示す。
• 幾何学的および測度論的推定を用いて $ E $ の次元を制御し、正確に2にできることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全不連結でハウスドルフ次元2の集合が、$ \mathbb{R}^3 $ 内でクアサイスフォーマル写像に対して除去可能でないことはあり得るか？
• RQ2 $ \mathbb{R}^3 $ 内に完全不連結で次元2の集合 $ E $ が存在し、$ E $ の外でクアサイスフォーマルであるホメオモルフィズムが $ \mathbb{R}^3 $ 全体でクアサイスフォーマルでないことはあり得るか？
• RQ3 非除去性の現象は、$ \mathbb{R}^3 $ 内の局所バイリプシッツ写像のクラスに拡張可能か？
• RQ4 除去可能集合の臨界次元閾値は何か？また、次元2の集合が非除去可能であることはあり得るか？
• RQ5 $ \mathbb{R}^3 \setminus E $ 上にクアサイスフォーマル写像が定義できるが、$ E $ が完全不連結であっても、$ \mathbb{R}^3 $ 全体へのクアサイスフォーマル拡張が不可能であることはあり得るか？

主な発見

• この論文は、ハウスドルフ次元が正確に2であるコンパクトで完全不連結な集合 $ E \subset \mathbb{R}^3 $ を構成し、クアサイスフォーマルホメオモルフィズムに対して除去可能でないことを示している。
• $ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ のホメオモルフィズム $ f $ が存在し、$ \mathbb{R}^3 \setminus E $ 上ではクアサイスフォーマルであるが、$ \mathbb{R}^3 $ 全体ではクアサイスフォーマルでない。これにより、$ E $ の非除去性が証明される。
• 同じ構成により、局所バイリプシッツ写像に対しても非除去な集合が得られ、障害がより広いクラスの写像に対しても成立することが示された。
• 集合 $ E $ は、次元と位相的不連結性を制御できる反復的幾何的プロセスにより構築されている。
• クアサイスフォーマル性の失敗は、$ E $ の近傍で歪みが無限大に発散するためであり、$ f $ が $ E $ の外ではクアサイスフォーマルであるにもかかわらず、そのような発散が生じる。
• この結果により、$ \mathbb{R}^3 $ 内で完全不連結な次元2の集合がグローバルなクアサイスフォーマル性を妨げることを示し、従来の除去可能閾値に関する予想に反するものである。