[論文レビュー] Non-self-adjoint operators, infinite determinants, and some applications

Fritz Gesztesy, Yuri Latushkin+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 52被引用数 61

ひとこと要約

本稿では、修正されたフレドホルム行列式を用いて非自己随伴作用素のスペクトル理論の枠組みを構築し、Jost–Paisの公式を多次元設定に拡張する。グローバルな Weinstein–Aronszajn の公式を確立し、$L^2(\Omega)$ 上の Birman–Schwinger 核の行列式を $\partial\Omega$ 上の境界積分作用素に還元することで、散乱理論や安定性解析における Evans 関数を用いた応用が可能になる。

ABSTRACT

We study various spectral theoretic aspects of non-self-adjoint operators. Specifically, we consider a class of factorable non-self-adjoint perturbations of a given unperturbed non-self-adjoint operator and provide an in-depth study of a variant of the Birman-Schwinger principle as well as local and global Weinstein-Aronszajn formulas. Our applications include a study of suitably symmetrized (modified) perturbation determinants of Schrödinger operators in dimensions n=1,2,3 and their connection with Krein's spectral shift function in two- and three-dimensional scattering theory. Moreover, we study an appropriate multi-dimensional analog of the celebrated formula by Jost and Pais that identifies Jost functions with suitable Fredholm (perturbation) determinants and hence reduces the latter to simple Wronski determinants.

研究の動機と目的

• 与えられた作用素の因数分解可能な非自己随伴摂動のスペクトル理論を、一般化された Birman–Schwinger 原理を用いて開発すること。
• 修正されたフレドホルム行列式を用いて、非自己随伴作用素に対する局所的およびグローバルな Weinstein–Aronszajn の公式を確立すること。
• Jost–Pais の公式を、次元 $n=1,2,3$ の多次元シュレーディンガー作用素に拡張すること。Jost 関数と境界積分行列式との関係を示すこと。
• 理論を散乱理論に応用し、特に $n=2,3$ 次元における Krein のスペクトルシフト関数を、修正された摂動行列式を用いて導出すること。
• トレース作用素とソボレフ空間への写像を用いて、コン pact な境界を持つ領域におけるディリクレ作用素とノイマン作用素の等価性を明確にすること。

提案手法

• 非自己随伴作用素 $H_0$ と稠密に定義された作用素 $A,B$ を用いて、$H = H_0 + B^*A$ の形の因数分解可能な非自己随伴摂動のクラスを形式化する。
• スペクトル解析のための一般化された Birman–Schwinger 原理を導出し、固有値を修正されたフレドホルム行列式の零点に関連付ける。
• 非自己随伴性に対処するため、Birman–Schwinger 核を用いて対称化された摂動行列式を導入する。
• トレース作用素 $\gamma_D$, $\gamma_N$ 及びその随伴を用いて、$L^2(\Omega)$ 上のフレドホルム行列式を $\partial\Omega$ 上の境界作用素に還元する。
• 次元 $n=1$ では $V \in L^1((0,\infty);dx)$、$n=2,3$ では $V \in L^2(\Omega;d^n x)$ を満たすシュレーディンガー作用素に理論を適用する。
• 非自己随伴シュレーディンガー作用素の Evans 関数を、Birman–Schwinger 型作用素のフレドホルム行列式として特定し、非線形 PDE の線形安定性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因数分解可能な摂動を持つ非自己随伴作用素に対して、Birman–Schwinger 原理をどのように一般化できるか？
• RQ2 このような非自己随伴作用素の特徴的スペクトルと離散固有値の構造はどのようなものか？
• RQ3 1次元で Jost 関数とフレドホルム行列式を等しくする Jost–Pais の公式は、高次元に拡張可能か？
• RQ4 Birman–Schwinger 核の修正されたフレドホルム行列式は、$n=2,3$ 次元の散乱理論における Krein のスペクトルシフト関数とどのように関係するか？
• RQ5 コン pact な境界を持つ領域におけるディリクレ作用素とノイマン作用素の間の明確な関係は、トレース作用素とソボレフ空間への写像を用いてどのように記述できるか？

主な発見

• 本稿では、Birman–Schwinger 核の修正されたフレドホルム行列式を用いて、非自己随伴作用素に対するグローバルな Weinstein–Aronszajn の公式を確立した。
• 次元 $n=1,2,3$ のシュレーディンガー作用素に対して、$L^2(\Omega)$ 上の Birman–Schwinger 核のフレドホルム行列式が境界 $\partial\Omega$ 上の行列式に還元され、Jost–Pais の公式が一般化された。
• 非自己随伴シュレーディンガー作用素の Evans 関数は、修正されたフレドホルム行列式として特定され、散乱理論におけるスペクトルシフト関数と結びついた。
• $n=2,3$ 次元における Krein のスペクトルシフト関数は、より弱い仮定の下で、修正された摂動行列式を用いて再導出された。
• 境界がコン pact な領域において、$C^{1,r}$ 型（$1/2 < r < 1$）の領域であれば、ディリクレ作用素とノイマン作用素が一致することが示され、それらのリゾルベントはトレース作用素によって関連づけられた。
• 本稿では、トレース作用素 $\gamma_D$ の随伴が自明である（$\text{dom}(\gamma_D^*) = \{0\}$）ことが証明され、$L^2(\Omega)$ 上で $\gamma_D$ が閉じられないことが確認された。