[論文レビュー] Non-singular circulant graphs and digraphs

A. K. Lal, A. Satyanarayana Reddy|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2011

Graph theory and applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、巡回行列の性質、円分多項式、単位根を用いて、一般化された巡回グラフおよび有向グラフ、特に $(r,s,t)$-有向グラフと $C_n^{i,j,k,l}$ 有向グラフの特異性に関する必要十分条件を提示する。主な貢献は、$n$, $r$, $s$, $t$, $j$, $k$, $l$ を含む最大公約数条件に基づく特異性の明確な特徴付けであり、既知の巡回行列の固有値および行列式に関する結果を拡張している。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions for a few classes of known circulant graphs and/or digraphs to be singular. The above graph classes are generalized to $(r,s,t)$-digraphs for non-negative integers $r,s$ and $t$, and the digraph $C_n^{i,j,k,l}$, with certain restrictions. We also obtain a necessary and sufficient condition for the digraphs $C_n^{i,j,k,l}$ to be singular. Some necessary conditions are given under which the $(r,s,t)$-digraphs are singular.

研究の動機と目的

• 既知のクラスの巡回グラフおよび有向グラフの特異性に関する必要十分条件を確立すること。
• 既存の巡回有向グラフ族を、構造的制約が明確に定義された $(r,s,t)$-有向グラフおよび $C_n^{i,j,k,l}$ 有向グラフに一般化すること。
• 代数的整数論および行列論を用いて、$C_n^{i,j,k,l}$ 有向グラフの特異性を明確に特徴付けること。
• $(r,s,t)$-有向グラフが特異であるための必要条件を提示し、部分的な結果を超えて進展させること。
• 代表多項式および単位根を用いて、巡回行列の行列式および固有値に関する先行研究を統合・拡張すること。

提案手法

• 一般化された巡回グラフの隣接行列を表現するため、巡回行列の代表多項式 $\gamma_A(x)$ を用いる。
• 補題 1.4 を適用し、行列の特異性と $\gcd(\gamma_A(x), x^n - 1)$ の次数との関係を確立する。特異性が成立するためには、この次数が 1 以上でなければならない。
• 円分多項式 $\Phi_d(x)$ および原始単位根 $\zeta_n$ の性質を用いて、固有値およびゼロ空間次元を分析する。
• $C_n^{i,j,k,l}$ の代表多項式を $x^i \cdot \frac{x^{\ell+1}-1}{x-1} \cdot \frac{x^{(k+1)j}-1}{x^j-1}$ として導出し、代数的解析を可能にする。
• 代数的整数論を用いて、$\gamma_A(\zeta_n^{n/d}) = 0$ となる $d \geq 2$ が存在するかをテストし、これがゼロ固有値（したがって特異性）を示す。
• 恒等式 $(x-1)\gamma_A(x) = (x^r - 1) + x^{r+t}(x^s - 1)$ を適用して根を分析し、$(r,s,t)$-有向グラフの特異性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された $(r,s,t)$-有向グラフが特異であるのはどのような条件下か？
• RQ2 パラメータ $i,j,k,l,n$ に制約が与えられたとき、巡回有向グラフ $C_n^{i,j,k,l}$ が特異であるのはいつか？
• RQ3 $n$, $r$, $s$, $t$, $j$, $k$, $\ell$ に関する最大公約数条件が、これらの有向グラフの特異性をどのように決定するか？
• RQ4 円分多項式の整除性を用いて、$C_n^{i,j,k,l}$ の特異性を完全に特徴付けられるか？
• RQ5 より広範な $(r,s,t)$-有向グラフのクラスにおいて、特異性を保証する必要条件は何か？

主な発見

• $C_n^{i,j,k,l}$ 有向グラフは、$\gcd(\ell+1, n) \geq 2$ または $\gcd(k+1, \frac{n}{\gcd(n,j)}) \geq 2$ であるときにかつそのときに限り特異である。
• 最初の行が $[r$ 個の $a$、$s$ 個の $b$、$t$ 個の $c]$ である $(r,s,t)$-有向グラフでは、$\gcd(s,n) > 1$ ならば行列は特異である。
• $\gcd(n,r,s) > 1$ ならば、$(r,s,t)$-有向グラフは特異である。なぜなら $\zeta_n^{n/k}$ が代表多項式の根であるからである。
• $\gcd(n,s) = 1$ であり、$d \geq 2$ が $t$ を割り、$s = \ell r$ かつ $\ell \equiv -1 \pmod{d}$ であるとき、有向グラフは特異である。なぜなら $\gamma_A(\zeta_n^{n/d}) = 0$ となるからである。
• $n = 2m$、$\gcd(n,s) = 1$、$d$ が偶数であり、$r+t$ が $d/2$ の奇数倍であり、$s = \ell r$ かつ $\ell \equiv 1 \pmod{d}$ であるとき、$\gamma_A(\zeta_n^{n/d}) = 0$ であり、特異性が示される。
• 完全グラフ $K_n$ は $n \geq 2$ に対して非特異である。これは $a=1$, $b=0$, $s=n-1$, $t=1$, および $\gcd(s,n)=1$ を用いた系 1.5 によって確認されている。