[論文レビュー] Non-Smooth Saddle-Node Bifurcations of Forced Monotone Interval Maps I: Existence of an SNA

Gabriel Fuhrmann|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一パrameter族の準周期的強制単調区間写像に対して、非滑らかな座標ノード分岐の枠組みを用いて、奇妙な非カオス的吸引子（SNA）の存在のための$\mathcal{C}^{2}$-開条件を確立する。主な結果は、これらの条件下で、吸引的および反発的不動的グラフが残渣集合上で一致するがほとんど確実には異なる非滑らかな分岐が発生することを示し、SNAの出現を確認する。

ABSTRACT

We study one-parameter families of quasi-periodically forced monotone interval maps and provide sufficient conditions for the existence of a parameter at which the respective system possesses a non-uniformly hyperbolic attractor. This is equivalent to the existence of a sink-source orbit, that is, an orbit with positive Lyapunov exponent both forwards and backwards in time. The attractor itself is a non-continuous invariant graph with negative Lyapunov exponent, often referred to as "SNA". In contrast to former results in this direction, our conditions are C^2-open in the fibre maps. By applying a general result about saddle-node bifurcations in skew products, we obtain a conclusion on the occurrence of non-smooth bifurcations in the respective families. Explicit examples show the applicability of the derived statements.

研究の動機と目的

• 準周期的強制単調区間写像が非滑らかな座標ノード分岐を示す一般的で頑健な条件を特定すること。
• 繊維写像における$\mathcal{C}^{2}$-開性のもとで、このような系に奇妙な非カオス的吸引子（SNA）の存在を証明すること。
• 微分不能な強制や特別な写像クラスを仮定する必要があった先行研究を拡張し、滑らかな系への適用を可能にすること。
• 準周期的強制を受ける非自己同型力学系においてSNAを検出するための柔軟で一般的な枠組みを提供すること。
• 分岐閾値には圧縮された不動的グラフが存在し、吸引的グラフはSNAであり、反発的グラフは奇妙な非カオス的反発子（SNR）であることを確立すること。

提案手法

• スカラー積系における座標ノード分岐に関する一般的結果を用いて、準周期的強制単調区間写像の一パrameter族を分析する。
• 系は、$\tilde{f}(\theta, \cdot)$ が繊維変数に関して厳密に増加的かつ$\mathcal{C}^{2}$ であるスカラー積$ f: \mathbb{T}^d \times X \to \mathbb{T}^d \times X $としてモデル化される。
• 条件$(\mathcal{I})_n$、$(\mathcal{F})_n$、および$(\mathcal{F}1)'_n$ を逐次確認するため、列$(M_n)$ と $(K_n)$ を構築する手法に依存する。これによりSNAの存在が保証される。
• 重要な技術的ステップとして、十分に大きな$\alpha$に対して、不等式$\|\partial_\beta f_\beta - \partial_\beta g_\beta\|_0 \leq \eta \cdot \alpha^{-1}$ が$\beta \in \mathscr{B}(n)$ において一様に成り立つことを証明する。
• 写像とその$\beta$-微分の$\mathcal{C}^{2}$-ノルムを用いて定義される、一パrameter族$\mathcal{F}_\omega$ の空間における距離を用いる。
• 写像の$\mathcal{C}^{2}$-位相において、非滑らかな座標ノード分岐が一般に発生するための開集合$\mathcal{U} \subseteq \mathcal{F}_\omega$ の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準周期的強制単調区間写像が、一般の$\mathcal{C}^{2}$-開条件のもとで非滑らかな座標ノード分岐を示すのはどのような場合か？
• RQ2 強制の非微分可能性を仮定せずに、このような系において奇妙な非カオス的吸引子（SNA）の存在を厳密に確立できるか？
• RQ3 分岐閾値における不動的グラフの構造は、特に点ごとの一致とほとんど確実な相違の観点からどのように変化するか？
• RQ4 繊維写像の小規模な$\mathcal{C}^{2}$-摂動のもとで、このような分岐が安定か？
• RQ5 ディオファントス周波数$\omega$ は、SNA形成の頑健性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、一パrameter族の準周期的強制単調区間写像の$\mathcal{C}^{2}$-開集合において、奇妙な非カオス的吸引子（SNA）の存在を証明する。
• SNAは、吸引的および反発的不動的グラフが残渣集合上で一致するがほとんど確実には異なる非滑らかな座標ノード分岐によって生じる。
• 分岐閾値には圧縮された不動的グラフが存在し、吸引的グラフはSNAであり、反発的グラフは奇妙な非カオス的反発子（SNR）である。
• SNA存在のための条件は、繊維写像において$\mathcal{C}^{2}$-開であるため、結果は頑健であり滑らかな系へも適用可能である。
• 明示的な例は、ハーパー写像や準周期的強制イジケビッチニューロンモデルに関連する具体的な力学系への導出条件の適用可能性を示している。
• 証明は、列$(M_n)$ と $(K_n)$ の帰納的構築に依存し、$\beta$-微分に対する一様な制御を保証する。これにより、分岐の一般性が確認される。