[論文レビュー] Non-Solvable Graph of a Finite Group and Solvabilizers

Doron Hai-Reuven|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限群の非可解グラフと、与えられた元と可解部分群を生成する元の集合である可解化子（solvabilizer）の概念を導入する。群が可解であるための必要十分条件として、すべての元の可解化子が部分群である（S群と呼ばれる）ことを証明し、群の可解根による商群上の誘導された非可解グラフが非正則であることを示し、グラフ論的性質を用いた可解性の新しい特徴付けを与える。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group. For $x \in G$, we define the solvabilizer of $x$ in $G$, denoted $sol_G(x)$, to be the set $\{g \in G \mid \langle g,x angle$ is solvable$\}$. A group $G$ is an S-group if $sol_G(x)$ is a subgroup of $G$ for every $x \in G$. In this paper we prove that $G$ is solvable $\Leftrightarrow$ $G$ is an S-group. Secondly, we define the non-solvable graph of $G$ (denoted ${\mathcal S}_{G}$). Its vertices are $G$ and there is an edge between $x,y \in G$ whenever $\langle x,y angle$ is not solvable. If $S(G)$ is the solvable radical of $G$ and $G$ is not solvable, we look at the induced graph over $G \setminus S(G)$, denoted $\hat{{\mathcal S}_{G}}$. We prove that if $G$ is not solvable, then $\hat{{\mathcal S}_{G}}$ is irregular. In addition, we prove some properties of solvabilizers and non-solvable graphs.

研究の動機と目的

• 有限群の非可解グラフを定義・研究し、非可解部分群を生成するペアを結ぶ辺を持つ。
• 可解化子を、与えられた元と可解部分群を生成する元の集合として定義する。
• 可解化子の部分群性を用いた可解性の特徴付けを行い、S群という概念を導入する。
• 非可解グラフの構造的性質、特にG\S(G) 上の誘導部分グラフの性質を分析し、その非正則性を証明する。
• 非可換グラフや非冪零グラフといった既存のグラフと類似性を示し、それらの文脈からの結果を拡張する。

提案手法

• G の元 x の可解化子を {g ∈ G | ⟨g,x⟩ が可解} として定義する。
• すべての元の可解化子が部分群である群を S群 と呼ぶ。
• 可解性に関するトンプソンの定理を用いて、G が可解であることと G が S群であることの必要十分条件を示す。
• 頂点集合が G で、非可解部分群を生成するペア間に辺が引かれる非可解グラフ SG を定義する。
• S(G) を G の可解根とするとき、G\S(G) 上の誘導部分グラフ ŜG を分析する。
• 数学的帰納法と群の位数の整除性の議論を用いて、ŜG が2種類の頂点次数しか持てないことはないことを示し、ŜG が非正則であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群における元の可解化子が部分群であるのはいつか？
• RQ2 可解化子の部分群性から得られる可解性の特徴付けは何か？
• RQ3 有限群の非可解グラフが持つ構造的性質、特にその可解根の補集合上での性質は何か？
• RQ4 非可解グラフを用いて、グラフ論的不変量によって可解群と非可解群を区別できるか？
• RQ5 G\S(G) 上の誘導された非可解グラフの非正則性は、群の非可解性とどのように関係するか？

主な発見

• 有限群 G が可解であることと、すべての元の可解化子が部分群である（S群である）ことは同値である。
• 任意の元 x ∈ G における可解化子は、x の中心化群を含み、その位数は群の位数を整除する。
• G\S(G) 上の誘導された非可解グラフ ŜG は非正則である。つまり、すべての頂点が同じ次数を持つわけではない。
• G が非可解であれば、ŜG は完全二部グラフ K4,4 を部分グラフとして含み、非平面的であることが示される。
• 非可解グラフにおける異なる頂点次数の数は、正確に2つであることはない。
• 非可解グラフにおける次数の和は |G| で割り切れる。これは、可解化子の位数の整除性に起因する。