[論文レビュー] Non Standard Metric Products

Andreas Bernig, Thomas Foertsch+1 more|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|Aug 26, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、距離空間の直積上で定義される関数 Φ を用いた非標準的距離積を導入・分類し、このような積が、長さ空間であることや非正曲率を持つことといった重要な幾何的性質を保存するための条件を示している。その条件は、Φ がノルムによって誘導されるときにかつそのときに限り成り立つ。中心的な貢献は、Φ が単位球が厳密に凸であるノルムから生じる場合に、Minkowski ランクがこれらの積において加法的であることを証明したことである。これは、ユークリッド的ランクの加法性に関する先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

We consider a fairly general class of natural non standard metric products and classify those amongst them, which yield a product of certain type (for instance an inner metric space) for all possible choices of factors of this type (inner metric spaces). We further prove the additivity of the Minkowski rank for a large class of metric products.

研究の動機と目的

• 距離空間の直積上で定義される非標準的距離積が、長さ空間である、あるいは非正曲率を持つといった幾何的性質を保存する条件を分類すること。
• 距離空間の積における Minkowski ランクが加法的となる条件を調査すること。
• 標準的なユークリッド的積に限らない、関数 Φ によって定義されるより広いクラスの距離積へと、既知のランク加法性に関する結果を拡張すること。
• cocompact 等長群をもつ凸的・測地的距離空間において、Minkowski ランクと準ユークリッド的ランクの関係を確立すること。

提案手法

• Qⁿ = [0, ∞)ⁿ とし、関数 Φ: Qⁿ → [0, ∞) を用いて、n 個の距離空間の直積上に距離積 dΦ を定義する。
• dΦ が距離の公理（三角不等式を含む）を満たすように、Φ に条件 (A) および (B) を課す。
• Ψ: ℝⁿ → [0, ∞) を Ψ(∑xi ei) := Φ(∑|xi| ei) で定義し、Ψ がノルムであるとき、Φ はノルムによって誘導されるという。
• Φ がノルムによって誘導されるときかつそのときに限り、特定の幾何的性質（例：長さ空間、測地的空間）が保存されることを証明する。曲率関連の性質については、より強い条件（厳密な凸性、内積構造）を要する。
• 測地線の構造と Φ の単調性および斉次性を用いて、接空間に類似する空間への誘導された擬ノルムの性質を導出する。
• Kleiner の定理（局所コンパクトで凸的・測地的距離空間）の結果を応用し、Minkowski ランクと準ユークリッド的ランクを等置することで、加法性の結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Φ がどのような条件下に、すべての内部距離空間因子に対して (X, dΦ) が長さ空間の性質を保つのか？
• RQ2 距離空間の積 (X, dΦ) の Minkowski ランクが、その因子の Minkowski ランクの和に等しくなるのはいつか？
• RQ3 ノルムの単位球の厳密な凸性が、Φ-積における Minkowski ランクの加法性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 凸的・測地的距離空間に cocompact 等長群をもつ場合、Minkowski ランクと準ユークリッド的ランクの関係は何か？
• RQ5 標準的積が失敗する場合でも、非標準的距離積において Minkowski ランクの加法性は保たれるか？

主な発見

• 距離積 (X, dΦ) がすべての内部距離空間因子について長さ空間であるための必要十分条件は、Φ がノルムによって誘導されることである。
• 測地的、一意測地的、非正 Busemann 曲率の性質を (X, dΦ) が保つための必要十分条件は、Φ が単位球が厳密に凸なノルムによって誘導されることである。
• 曲率が上から（または下から）有界であるための必要十分条件は、Φ が内積によって誘導されることである。
• Minkowski ランクは加法的である：Φ が単位球が厳密に凸なノルムによって誘導されるとき、rankM(X, dΦ) = ∑i=1^n rankM(Xi, di) が成り立つ。
• 同様の条件下で、準ユークリッド的ランクに対しても加法性が成り立つ：局所コンパクトで凸な距離空間に cocompact 等長群をもつとき、rankqE(X, dΦ) = ∑i=1^n rankqE(Xi, di) が成り立つ。
• 定理 2 の厳密な凸性条件は必要不可欠であり、Φ(x₁, x₂) = x₁ + x₂ を ℝ₊ × ℝ₊ に適用した反例により、Minkowski ランクが加法的でないことが示された。