[論文レビュー] Non-stationary resonance dynamics of the harmonically forced pendulum

Leonid I. Manevitch, В. В. Смирнов+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2016

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 1被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、振幅制限なしに調和的駆動された単振子の定常的および極めて非定常的な共鳴ダイナミクスを解析的に記述するため、半逆問手法と限界位相軌道（LPT）概念を組み合わせた手法を提示する。本研究では2つの主要なダイナミクス的遷移を特定した。1つは分岐によって新しい定常状態が生じることを示し、もう1つはLPTと接続分離子の一致に伴い急激な振幅増大が生じ、これが駆動源からの最大エネルギー抽出に対応する。混沌沌は後者の遷移付近に出現する。

ABSTRACT

The stationary and highly non-stationary resonant dynamics of the harmonically forced pendulum are described in the framework of a semi-inverse procedure combined with the Limiting Phase Trajectory concept. This procedure, implying only existence of slow time scale, permits to avoid any restriction on the oscillation amplitudes. The main results relating to the dynamical bifurcation thresholds are represented in a closed form. The small parameter defining the separation of the time scales is naturally identified in the analytical procedure. Considering the pendulum frequency as the control parameter we reveal two qualitative transitions. One of them corresponding to stationary instability with formation of two additional stationary states, the other, associated with the most intense energy drawing from the source, at which the amplitude of pendulum oscillations abruptly grows. Analytical predictions of both bifurcations are verified by numerical integration of original equation. It is also shown that occurrence of chaotic domains may be strongly connected with the second transition.

研究の動機と目的

• 摂動理論で一般的に見られる振幅制限を回避する、駆動単振子の解析的枠組みの構築を目的とする。
• 系の共鳴挙動における2つの明確に異なるダイナミクス的遷移の同定と特徴化を目的とする。
• 2番目の遷移と混沌沌の発生との関係を明確化することを目的とする。
• 数値的Poincaré断面とダイナミカルシステム解析を通じて、解析的予測の妥当性を検証することを目的とする。

提案手法

• 小さな振動振幅を仮定しないが、緩やかな時間スケールの存在のみを仮定する半逆問の漸近的手法を適用する。
• 単振子の運動の複素振幅表現を導入し、元の2階非線形常微分方程式を1階の複素方程式に変換する。
• 平均化法により周期的項（secular terms）を除去し、第一種ベッセル関数を含む緩やかな流れ方程式を導出する。
• 限界位相軌道（LPT）概念を用いて、特に最大エネルギー抽出を含む極めて非定常的なエネルギー移動を記述する。
• 緩やかな流れ方程式を解くことで、振幅および駆動パラメータの関数としての定常振動周波数の解析的表現を導出する。
• 分岐点付近での位相空間の進化を解析するために、Poincaré断面を用いた数値的検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 振幅制限なしに、駆動単振子の定常的および極めて非定常的なダイナミクスを記述できる解析的枠組みは何か？
• RQ2 同定された2つのダイナミクス的遷移（定常的および非定常的）は、系の位相空間にどのように現れるか？
• RQ3 LPT-分離子の一致が、急激な振幅増大および最大エネルギー転送を引き起こす役割を果たすメカニズムは何か？
• RQ4 混沌沌は非定常的遷移および系のパrametricな進化とどのように関係しているか？
• RQ5 分離子混沌はどのような条件下で出現し、駆動振幅に依存してどのように変化するか？

主な発見

• 2つの明確に異なるダイナミクス的遷移が解析的に同定された：1つは安定および不安定な定常状態ペアの生成を示し、もう1つはLPTとホモクライン的分離子の一致を示す。
• 2番目の遷移は、駆動源からの最大エネルギー抽出に対応し、振幅の急激な増加が観察される。
• 定常振動周波数の解析的表現として、$\omega = -s + \sqrt{\frac{1}{Q}\left(2J_1(Q) - f\right) + s^2}$ が得られ、任意の振幅に対して有効である。
• 数値的Poincaré断面により解析的予測の妥当性が確認され、両遷移点付近で位相空間の明確な変化が観察された。
• 混沌沌は非定常的遷移付近に出現し、2つの異なる状況で観察された：1つは両遷移を経た後（分離子の破壊）、もう1つは非定常的遷移そのものにおいて、特に高い駆動振幅の場合に顕著に現れた。
• f = 0.08 の場合、混沌沌は定常的遷移後に出現し、非定常的遷移に達して顕著に現れる。これは最大エネルギー転送と混沌沌の発生との強い関連性を示している。