[論文レビュー] Non strict and strict hyperbolic systems for the Einstein equations

Yvonne Choquet–Bruhat|ArXiv.org|Nov 6, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単純なゲージ選択におけるアインシュタイン真空方程式が、Leray–Ohyaの意味で因果的で非厳密な双曲型系であることを確立し、解はGevreyクラスγ=2に属する。さらに、Weylテンソルまたはリーマンテンソルに基づく厳密な双曲型形式についても検討し、対称双曲型系を構成可能であり、Bel–Robinsonエネルギー推定を用いて大域的解の存在を示せる。

ABSTRACT

The integration of the Einstein equations split into the solution of constraints on an initial space like 3 - manifold, an essentially elliptic system, and a system which will describe the dynamical evolution, modulo a choice of gauge. We prove in this paper that the simplest gauge choice leads to a system which is causal, but hyperbolic non strict in the sense of Leray - Ohya. We review some strictly hyperbolic systems obtained recently.

研究の動機と目的

• 単純なゲージ選択下でのアインシュタイン真空方程式の適切な定式化を確立し、Leray–Ohyaの意味で因果的かつ非厳密双曲型であることを示す。
• 幾何的未知数を用いて、真空アインシュタイン方程式から導かれる1次系を対称双曲型系として分析する。
• Bel–Robinsonテンソルを介して双曲型構造とエネルギー推定を結びつけ、大域的解の存在結果を得る。
• Weylテンソルまたはリーマンテンソルに基づく厳密双曲型形式と非厳密双曲型系を比較する。
• 特に調和スライシングを含むゲージ条件が、厳密双曲型性と幾何学的一意性を達成する役割を明確化する。

提案手法

• 3+1時空分割を用いてアインシュタイン方程式を定式化し、時空をM×Rに分解し、 lapse関数Nとシフトベクトルβを導入する。
• Nとβのゲージ選択下でRαβ=0から導かれる発展系を解析し、Gevrey正則性γ=2を伴い、Leray–Ohyaの意味で双曲型であることを示す。
• Bianchi恒等式に3+1分解を適用し、リーマンテンソルに対する1次対称双曲型系を導出する。
• 対称双曲型定式化において、Bel–Robinsonエネルギーを保存量として用い、大域的解の定理を支持する。
• FriedrichによるWeylテンソルまたはAnderson, Choquet-Bruhat, Yorkによる完全なリーマンテンソルを用いた方法により、厳密双曲型系を構築し、可対称化可能でエネルギー推定が可能であることを保証する。
• 半群法およびエネルギー法を用いて、Sobolev空間Hs（s≥3）で局所的解の存在と、Hs（s≥4）で幾何学的一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 lapse関数Nとシフトベクトルβを伴う単純なゲージ選択におけるアインシュタイン方程式の発展系は、Leray–Ohyaの意味で双曲型であるか？
• RQ2 制約を保ちつつエネルギー推定が可能な、リーマンテンソルに対する1次対称双曲型系を構築できるか？
• RQ3 Bel–Robinsonエネルギーは、アインシュタイン方程式の解の大域的解の存在を示すために果たす役割は何か？
• RQ4 特に調和スライシングを含むゲージ選択が、より良い正則性と一意性をもたらす厳密双曲型系をどのように導くか？
• RQ5 アインシュタイン方程式の局所的解の存在および幾何学的一意性を保証するための最小のSobolev正則性要件（s）は何か？

主な発見

• lapse関数Nとシフトベクトルβを伴う最も単純なゲージ選択下で、真空アインシュタイン方程式から導かれる発展系は、Leray–Ohyaの意味で因果的かつ非厳密双曲型であり、解はGevreyクラスγ=2に属する。
• 対称1次系の構造のおかげで制約が発展に沿って保存され、初期データの一貫性が保証される。
• 調和ゲージを用いることで厳密双曲型系が得られ、s≥3で局所的解の存在、s≥4で幾何学的一意性が保証される。
• Anderson, Choquet-Bruhat, York（1997）によるリーマンテンソルに基づく対称双曲型定式化は、可対称化可能な主要行列と明確に定義されたBel–Robinsonエネルギーを持つ。
• 対称双曲型系に伴うBel–Robinsonエネルギーは、ChristodoulouとKlainerman（1989）の例に見られるように、大域的解の証明に有用な保存量を提供する。
• s≥4では最大発展の幾何学的一意性が確立されるが、s=3における局所的幾何学的一意性は未解決の問題のままである。