[論文レビュー] Non-tangential limits and the slope of trajectories of holomorphic semigroups of the unit disc

Filippo Bracci, Manuel D. Contreras+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Gromovの双曲幾何理論を用いて、リーマン写像下での非接線的収束に関する幾何的条件を確立する。単連結領域内の点列が境界に非接線的に収束するための必要十分条件として、より大きな領域における測地線のチューブ型双曲近傍内に点列が最終的に含まれる、という条件が得られ、単位円板における正則半群への応用が行われる。特に、非接線的収束と振動する軌道の傾きを有するパラボリック半群の例が構成され、収束の単調性に関する直感に反する事例が提示される。

ABSTRACT

Let $\\Delta\\subsetneq \\mathbb C$ be a simply connected domain, let $f:\\mathbb D \ o \\Delta$ be a Riemann map and let $\\{z_k\\}\\subset \\Delta$ be a compactly divergent sequence. Using Gromov's hyperbolicity theory, we show that $\\{f^{-1}(z_k)\\}$ converges non-tangentially to a point of $\\partial \\mathbb D$ if and only if there exists a simply connected domain $U\\subsetneq \\mathbb C$ such that $\\Delta\\subset U$ and $\\Delta$ contains a tubular hyperbolic neighborhood of a geodesic of $U$ and $\\{z_k\\}$ is eventually contained in a smaller tubular hyperbolic neighborhood of the same geodesic. As a consequence we show that if $(\\phi_t)$ is a non-elliptic semigroup of holomorphic self-maps of $\\mathbb D$ with K\\"onigs function $h$ and $h(\\mathbb D)$ contains a vertical Euclidean sector, then $\\phi_t(z)$ converges to the Denjoy-Wolff point non-tangentially for every $z\\in \\mathbb D$ as $t\ o +\\infty$. Using new localization results for the hyperbolic distance, we also construct an example of a parabolic semigroup which converges non-tangentially to the Denjoy-Wolff point but oscillating, in the sense that the slope of the trajectories is not a single point.

研究の動機と目的

• 単連結領域 Δ⊂ℂ 内の点列が、単位円板へのリーマン写像 f:𝔻→Δ による前像として、単位円板の境界に非接線的に収束するための幾何的条件を同定すること。
• 領域の双曲幾何とそのより大きな単連結領域への埋め込みを用いて、非接線的収束を特徴づけること。
• 得られた基準を、特にDenjoy-Wolff点への収束を分析する単位円板の自己写像の正則半群に応用すること。
• 非接線的収束を示すが、軌道の傾きが収束しない（振動する）パラボリック半群の例を構成すること。

提案手法

• Gromovの双曲幾何理論を用い、単位円板における非接線的収束を、より大きな領域における測地線のチューブ型双曲近傍への点列の包含関係に帰着させる。
• 単連結領域の双曲計量と測地線構造を用いて、非接線的収束を双曲距離に関連する幾何的条件に翻訳する。
• 良いボックス（特定の幾何的領域）における双曲距離の局所化技術を用い、曲線の振る舞いと基準点からの双曲距離の制御を行う。
• 準測地線の議論と比較定理を用い、縦方向のユークリッド扇形を含む領域における特定の曲線が一様な準測地線であることを示し、これにより非接線的収束が得られることを示す。
• 特定の良いボックスの列と双曲距離の推定を用いて、パラボリック半群を構成し、非接線的収束は満たすが軌道の傾きが振動する事例を提示する。
• Koenigs関数を用いて、半群の力学と像領域の幾何（特に縦方向のユークリッド扇形を含む場合）を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結領域 Δ⊂ℂ において、点列 {zₖ}⊂Δ がコンパクトに発散するとき、リーマン写像 f:𝔻→Δ による前像 f⁻¹({zₖ}) が単位円板の境界に非接線的に収束するための幾何的条件は何か？
• RQ2 正則半群の軌道の非接線的収束は、Koenigs関数の像の幾何から特徴づけられるか？
• RQ3 パラボリック半群がDenjoy-Wolff点に非接線的に収束するが、その軌道の傾きが単一の値に収束せず振動する可能性は存在するか？
• RQ4 領域内の双曲距離を、モデル領域（例：ストリップ）内の双曲距離と比較・局所化することで、幾何的および力学的性質をどのように推論できるか？
• RQ5 より大きな領域 U⊃Δ において、測地線 γ のチューブ型双曲近傍が存在する場合、その近傍が部分領域 Δ⊂U 内の点列の非接線的振るまいに果たす役割は何か？

主な発見

• Δ⊂ℂ 内の点列 {zₖ} が Δ 内に集積点を持たないとき、f⁻¹({zₖ}) が ∂𝔻 に非接線的に収束するための必要十分条件は、あるより大きな単連結領域 U⊃Δ と U 内の測地線 γ が存在し、{zₖ} が γ の双曲近傍内に最終的に含まれ、かつ Δ が γ のチューブ型双曲近傍を含むことである。
• 非楕円的半群のKoenigs関数の像に縦方向のユークリッド扇形が含まれるならば、すべての軌道はDenjoy-Wolff点に非接線的に収束する。
• 単位円板内に存在するパラボリック半群の例として、Denjoy-Wolff点に非接線的に収束するが、その軌道の傾きが収束せず振動するものがある。
• Δ=f(𝔻) が無限遠点において星型で、かつ縦方向のユークリッド扇形を含むならば、単位円板内での曲線 t↦f⁻¹(f(z)+it) は t→+∞ のとき ∂𝔻 に非接線的に収束する。
• 任意の M>0 に対して、ある j₀ が存在し、すべての j≥j₀ に対して、すべての t∈[0,1) に対して k_Ω(γ(t),iyⱼ) > M が成り立つ。これにより、曲線 γ₀ が任意の固定測地線に漸近しないことが示され、振動的振るまいが確認される。
• 良いボックス Bⱼ 内の双曲距離は、モデルストリップ ℂ_Rⱼ−aⱼ における双曲距離と一様に比較可能であり、共形不変性と比較原理を用いて距離推定を精密に制御できる。