[論文レビュー] Non-trivial, static, geodesically complete space-times with a negative cosmological constant II. $n\ge 5$

M. Eric Anderson, Piotr T. Chruściel+1 more|ArXiv.org|Jan 19, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、次元 $n \geq 5$ において、負の宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式の非自明で静的かつ測地的完全なローレンツ型真空中解の存在を確立する。非退化で共形的コンpact化可能なリーマン多様体上のアインシュタイン計量 $\Sigma \times S^1$ にウィック回転を適用することで、局所的にハイパーボリックで、曲率特異点のない厳密に静的で、共形的コンパクト化可能な時空が構成される。主な貢献は、$n \geq 5$ の場合、質量パラメータが次元と曲率の境界に依存する非退化範囲にある限り、このような解の広いクラスが存在することの証明である。

ABSTRACT

We show that the recent work of Lee [23] implies existence of a large class of new singularity-free strictly static Lorentzian vacuum solutions of the Einstein equations with a negative cosmological constant. This holds in all space-time dimensions greater than or equal to four, and leads both to strictly static solutions and to black hole solutions. The construction allows in principle for metrics (whether black hole or not) with Yang-Mills-dilaton fields interacting with gravity through a Kaluza-Klein coupling.

研究の動機と目的

• 負の宇宙定数を伴う特異点のない厳密に静的真空時空の高次元（$n \geq 5$）への構成を、4次元の結果を一般化する形で拡張すること。
• 反de Sitter空間とは等長でないが、完全な測地的完全性と有界な曲率不変量を満たす新規解の存在を確立すること。
• 共形無限遠のデータの摂動が、開集合定理を用いて全空間的静的解をもたらすことを証明すること。
• 得られるローレンツ型解が曲率特異点を避け、適切に定義された共形境界を持つための条件を特定すること。

提案手法

• ウィック回転手順を用いる：$M = \Sigma \times S^1$ 上のリーマン計量に、全空間的時間的キリングベクトルを持つものから出発し、$S^1$ ファイバー成分の符号を変えることでローレンツ型計量を導出する。
• 共形的コンパクト化の概念を適用する：$g = x^{-2}\bar{g}$ が共形的コンパクトであるとは、$x$ が $\partial\overline{M}$ でちょうど消失し、勾配が消えないこと、かつ $\bar{g}$ が境界まで滑らかに延長できることを意味する。
• 非退化性を定義するため、リッチ・ラプラシアン $P = \Delta_L + 2(n-1)$ を用い、アインシュタイン計量の非退化性を保証することで、共形無限遠の摂動に対する解空間の開性を確保する。
• トレースフリーな対称2次テンソル上の $P$ の $L^2$ カーネルに非退化性条件を課すことにより、共形無限遠の摂動が一意的かつ全空間的静的解をもたらすことを保証する。
• 断面曲率の推定式 $k \geq -\frac{2(n-1)}{n}$ および $K \leq 0$ を、ポテンシャル $V(r) = -1 + r^2 - 2m r^{-(n-3)}$ から導出し、曲率不変量の有界性を保証する。
• 非退化性のための質量パラメータ $m$ の明示的境界を導出する：$m \in (m_-(n), m_+(n)]$、ここで $m_+(n) = \infty$ for $n=4$ かつ $m_+(n) = \frac{n-2}{(n-1)(n-4)} \left( \frac{n(n-3)}{(n-1)(n-4)} \right)^{\frac{n-3}{2}}$ for $n \geq 5$、また $m_-(n) = -\frac{1}{n-1} \left( \frac{n-3}{n-1} \right)^{\frac{n-3}{2}}$ は負の質量に対して。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $n \geq 5$ において、非自明で厳密に静的かつ測地的完全な負の宇宙定数を伴う真空時空を構成可能か？
• RQ2 空間断面 $\Sigma$ の曲率と質量パラメータ $m$ にどのような条件下で、このような時空が非退化であり、曲率特異点を避けることができるか？
• RQ3 共形無限遠データの開集合定理は、反de Sitter解の近傍で連続的な解の族の存在を保証するか？
• RQ4 共形的コンパクト化可能なリーマン計量のウィック回転により、全空間的ハイパーボリックで共形的コンパクト化可能かつ曲率不変量が有界なローレンツ型解が得られるか？
• RQ5 質量パラメータ $m$ のどの範囲で、得られる時空が非退化的かつ測地的完全となるか？

主な発見

• 次元 $n \geq 5$ において、関連する静的ローレンツ型真空解が測地的完全であり、曲率不変量が有界であるような共形無限遠データの非空な開集合が存在する。
• 構成法により、反de Sitter空間とは等長でない厳密に静的解が得られ、導入部で提示された8つの幾何的・解析的条件（全空間的ハイパーボリシティ、滑らかな共形コンパクト化など）をすべて満たす。
• 質量パラメータ $m$ が区間 $(m_-(n), m_+(n)]$ 内にある場合、非退化性が保証され、摂動に対して解空間が開であることが保証される。ここで $m_+(n) = \infty$ for $n=4$ かつ $m_+(n) = \frac{n-2}{(n-1)(n-4)} \left( \frac{n(n-3)}{(n-1)(n-4)} \right)^{\frac{n-3}{2}}$ for $n \geq 5$ であり、解空間の開性が保証される。
• 次元 $n \geq 5$ において、非退化質量の範囲には正と負の両方の値が含まれ、$m_-(n) = -\frac{1}{n-1} \left( \frac{n-3}{n-1} \right)^{\frac{n-3}{2}}$ であり、この範囲内で計量は特異点を有さない。
• 分析により、$c = -1$（$N^{n-2}$ 上の定数負曲率）の場合、すべての $m \in (m_-(n), m_+(n)]$ で非退化性が成立し、これは表面重力が $m = m_-(n)$ で消える正則なブラックホールを含む。
• 4次元では、特異点のない解はすべて非退化であるが、$n \geq 5$ の場合、非退化性条件が質量範囲を制限し、上界 $m_+(n)$ は有限で明示的に計算可能である。