[論文レビュー] Non-Turing computations via Malament-Hogarth space-times

Gábor Etesi, István Németi|ArXiv.org|Apr 9, 2001

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 16被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、特異点付近での無限の時間歪みを活用して、ブラックホール付近で非チューリング計算を実現する相対論的計算モデルを提案する。一般相対性理論の下では、観測者により、無限ステップのチューリングマシンの停止状態が有限の固有時間内で確認可能であり、非再帰的関数が計算可能となる。これは、相対論的物理学においてチューリング・チャーチの Thesis の必要性を疑問視するものである。

ABSTRACT

We investigate the Church-Kalmár-Kreisel-Turing Theses concerning theoretical (necessary) limitations of future computers and of deductive sciences, in view of recent results of classical general relativity theory. We argue that (i) there are several distinguished Church-Turing-type Theses (not only one) and (ii) validity of some of these theses depend on the background physical theory we choose to use. In particular, if we choose classical general relativity theory as our background theory, then the above mentioned limitations (predicted by these Theses) become no more necessary, hence certain forms of the Church-Turing Thesis cease to be valid (in general relativity). (For other choices of the background theory the answer might be different.) We also look at various ``obstacles'' to computing a non-recursive function (by relying on relativistic phenomena) published in the literature and show that they can be avoided (by improving the ``design'' of our future computer). We also ask ourselves, how all this reflects on the arithmetical hierarchy and the analytical hierarchy of uncomputable functions.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の文脈において、計算の理論的限界に関するチューリング＝カルマー＝チューリングの Thesis が依然として有効であるかどうかを調査すること。
• マラメント＝ホーグラシュト時空において、特定の非再帰的関数が計算可能であることを示すことにより、チューリング・チャーチの Thesis の必要性を挑戦すること。
• 相対論的計算の実現を阻害するとされていた従来の物理的障壁を分析・反証し、一般相対性理論の枠組み内で回避可能であることを示すこと。
• このような計算が、非計算可能関数の算術的・解析的階層に与える影響を検討すること。
• 量子重力効果がこの相対論的計算モデルに与える影響を評価すること。現時点の理論的限界を認識しつつ。

提案手法

• 無限の固有時間を有する時空的曲線（γP）と、そこから信号を受信可能な共通の事象（p）を持つマラメント＝ホーグラシュト時空を用いる。
• 二名の観測者を想定する thought experiment を設計：γP（ブラックホールに落下する）は無限計算を実行し、γO（外部で静止している）はγPからの信号を受信する。
• カー・ブラックホール時空の因果的構造に依拠し、γOがγPの無限ステップのシーケンスの後に有限時間内に信号を受信できることを保証する。
• γOが事象pに近い信号を任意に高い精度で検出できる場合、その検出時刻も任意の精度で測定可能であるという原則を適用する。
• プランク時間の限界を用いて時間測定の精度を分析し、量子重力が時間測定における無限の精度を制限する可能性があることを示す。
• ブラックホールの蒸発や量子揺らぎといった量子効果を検討し、完全な量子重力理論の枠組みでは計算が破壊される可能性があることを考慮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的時空構造を用いることで、非再帰的関数を有限時間で計算できるか？
• RQ2 一般相対性理論の物理的仮定が、理想化された計算システムにおけるチューリング＝チャーチの Thesis の必要性を無効にするか？
• RQ3 従来指摘された相対論的計算の障壁（例：信号検出、時間測定の精度）は、一般相対性理論の下で物理的に乗り越えられないものか？
• RQ4 マラメント＝ホーグラシュト時空の存在が、非計算可能関数の算術的・解析的階層に与える影響は何か？
• RQ5 量子重力効果（例：プランクスケールの時間制限、ブラックホールの蒸発）が、このような相対論的計算モデルの実現可能性に与える影響は何か？

主な発見

• マラメント＝ホーグラシュト時空では、無限の固有時間を経る世界線γPからの信号を、観測者γOが受信可能であり、有限時間内に無限計算の検証が可能となる。
• このモデルにより、非再帰的関数（具体的にはチューリングマシンの停止問題）が有限時間で決定可能となり、非チューリング計算が達成可能であることが示された。
• 従来指摘された古典的障壁（例：信号検出、時間測定精度）は、一般相対性理論の枠組み内で回避可能である。
• γOが要請する時間測定の精度は、古典物理学において根本的障壁ではないが、量子重力効果がプランク時間スケールによって制限をもたらす可能性がある。
• ブラックホールの蒸発や量子揺らぎといった量子効果は、完全な量子重力理論の枠組みでは、このモデルの実現を最終的に不可能にする可能性がある。
• 結果として、チューリング＝チャーチの Thesis は普遍的ではない。その有効性は、選択された物理的背景理論に依存し、一般相対性理論ではハイパーコンピュテーションが可能である。