[論文レビュー] Non-uniform dependence on initial data for the Whitham equation

Mathias Nikolai Arnesen|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$H^s$ 空間（$s > \frac{3}{2}$）において、Whitham 方程式および関連する Whitham 型方程式について、初期データに対する非一様依存性を確立する。これは、初期には収束するが後に発散する二つの解系列の構成を用いる。分散作用素 $L$ が KdV 方程式のそれより弱い場合にこの結果が成り立ち、周期的および非周期的両設定において、流れマップが一様連続でないことを示している。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem \begin{align*} \partial_t u+u\partial_x u+L(\partial_x u) &=0, \\ u(0,x)=u_0(x) \end{align*} on the torus and on the real line for a class of Fourier multiplier operators $L$, and prove that the solution map $u_0\mapsto u(t)$ is not uniformly continuous in $H^s(\mathbb{T})$ or $H^s(\mathbb{R})$ for $s>\frac{3}{2}$. Under certain assumptions, the result also hold for $s>0$. The class of equations considered includes in particular the Whitham equation and fractional Korteweg-de Vries equations and we show that, in general, the flow map cannot be uniformly continuous if the dispersion of $L$ is weaker than that of the KdV operator. The result is proved by constructing two sequences of solutions converging to the same limit at the initial time, while the distance at a later time is bounded below by a positive constant.

研究の動機と目的

• Whitham 型方程式の Sobolev 空間 $H^s$ における解写像の正則性を調査すること。
• $s > \frac{3}{2}$ のとき、$H^s$ の有界集合上で流れマップ $u_0 \mapsto u(t)$ が一様連続であるかどうかを特定すること。
• 分散記号 $m(\xi)$ に追加の仮定を課した場合、非一様依存性の結果を $s > 0$ の低い正則性に拡張すること。
• 分散の強さが流れマップの正則性に与える役割を明らかにし、KdV 方程式と比較すること。
• 同じ初期極限を持つが、後に有界な距離で分離する二つの解系列の構成を用いて、一様連続性の失敗を確立すること。

提案手法

• $\omega = \pm 1$ および大きな $\lambda$ を用いた、$H^s$ 内の高周波初期データに基づく二つの解系列 $u_{\omega,\lambda}$ を構成する。
• 近似解の方法とエネルギー推定を用いて、$H^s$ 内での解の差の時間発展を制御する。
• 三角不等式を適用し、$\|u_{1,\lambda} - u_{-1,\lambda}\|_{H^s}$ の $H^s$ ノルムを主成分の差から下界で抑え込む。
• $L^2$-ベースの推定と高正則性と低正則性ノルムの補間を用いて、解の差における誤差項を制御する。
• $L^2$ の保存則と $\int uLu\,dx - \int u^3\,dx$ を含む修正エネルギーを用いて、$s < \frac{3}{2}$ の場合の高階ノルムを制御する。
• 大 $|\xi|$ に対して $|m(\xi)| \gtrsim |\xi|^r$ が成り立つ条件を用いて、$H^{r/2}$ ノルムが時間に一様に有界であることを保証し、低 $s$ の場合の補間を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラスおよび実数直線上で、$s > \frac{3}{2}$ の $H^s$ において、Whitham 方程式の解写像は一様連続か？
• RQ2 分散が KdV 方程式のそれより弱い場合、非一様依存性は維持されるか？
• RQ3 分散記号 $m(\xi)$ に追加の仮定を課した場合、非一様依存性の結果を $s > 0$ に拡張できるか？
• RQ4 記号 $m\xi)$ の成長率が流れマップの正則性に果たす役割は何か？
• RQ5 保存則は、低正則性領域における正則性の伝播と解の安定性にどのように影響するか？

主な発見

• 符号 $m(\xi)$ にやや弱い仮定を課した場合、任意の有界集合において $H^s(\mathbb{T})$（$s > \frac{3}{2}$）で解写像 $u_0 \mapsto u(t)$ は一様連続でない。
• 実数直線の場合、$m(\xi)$ が Hölder 型連続性条件を満たし、$|\xi|^\gamma$ に比べて最大 $\gamma < 2$ の割合で成長する場合、$H^s(\mathbb{R})$（$s > \frac{3}{2}$）で非一様依存性が成り立つ。
• $0 < s < \frac{r}{2}$ で $r > 1$ のとき、$|m(\xi)| \gtrsim |\xi|^r$（$|\xi|$ が大きい場合）かつ初期値問題が $H^s(\mathbb{R})$ で局所的に適切に定義されるならば、非一様依存性が成り立つ。
• 構成により、$t=0$ で $H^s$ 内に収束するが、任意の $t > 0$ で $H^s$ 内で正の距離で分離する二つの解系列が得られ、一様連続性の失敗が証明される。
• この結果は鋭い。$\gamma = 2$ のとき、仮定は KdV 方程式を含み、その流れマップは局所リプシッツ的であることが知られているため、一様連続性の閾値は分散の強さに依存する。
• 一様連続性の失敗は分散の強さに起因する：弱い分散（例：Whitham または $\alpha < 2$ の fKdV）では、KdV と比較して流れマップの正則性が劣化する。