[論文レビュー] Non uniformly hyperbolic dynamics: Hénon maps and related dynamical systems

Michael Benedicks|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元写像の精密な解析を通じて、ヘノン写像における非一様的双曲的力学の存在を確立し、Axiom Aを越えたカオス的系のエルゴディック理論を拡張する。絶対連続不変測度（ACIP）の存在と確率的安定性を証明することで、正のリャプノフ指数を有するカオス的振る舞いが、パrameter空間の正の測度の集合において広く存在することを示しており、散逸的2次元系におけるスラングアトラクターの理解を著しく進展させる。

ABSTRACT

In the 1960s and 1970s a large part of the theory of dynamical systems concerned the case of uniformly hyperbolic or Axiom A dynamical system and abstract ergodic theory of smooth dynamical systems. However since around 1980 an emphasize has been on concrete examples of one-dimensional dynamical systems with abundance of chaotic behavior (Collet &Eckmann and Jakobson). New proofs of Jakobson's one-dimensional results were given by Benedicks and Carleson \cite{BC85} and were considerably extended to apply to the case of Hénon maps by the same authors \cite{BC91}. Since then there has been a considerable development of these techniques and the methods have been extended to the ergodic theory and also to other dynamical systems (work by Viana, Young, Benedicks and many others). In the cases when it applies one can now say that this theory is now almost as complete as the Axiom A theory.

研究の動機と目的

• 一様的双曲的力学系理論を非一様的双曲的系、特にヘノン写像に拡張すること。
• 一般的なパrameter条件の下で、ヘノン写像に対して絶対連続不変確率測度（ACIP）の存在を確立すること。
• これらの不変測度が微小な確率的摂動に対して確率的安定であるかを調査すること。
• パrameter空間におけるスラングアトラクターと周期的シンクの広がりに関する未解決問題に取り組むこと。
• Axiom Aフレームワークを超えて、散逸的2次元系におけるカオス的力学の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• ベニデックスとカールソンの1次元単峰的写像における手法を、2次元ヘノン写像に適応・拡張した。
• パrameterの除外法を用いて、ヘノン写像が非一様的双曲的であるような、正のLebesgue測度のパラメータ集合を同定した。
• ヤングのタワー構成と相関関数の減衰を用いて、一意なSRB測度（絶対連続不変測度）の存在を確立した。
• ノイズ強度がゼロに近づく際、摂動された定常測度が確定的ACIPに弱-*収束することを示し、不変測度の弱-*確率的安定性を証明した。
• 非一様的双曲的基底力学を持つスケイプ積やヘノンに類似した写像に、非一様的双曲的系の理論を適用した。
• パラメータの除外プロセスにおける帰還時間と歪度を制御するため、階層的構造と制御された幾何を持つ臨界集合の概念を用いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘノン写像のパラメータ空間において、Lebesgueほとんど至るところのパラメータ (a,b) に対して、共存するスラングアトラクターと安定な周期的軌道は高々有限個であるか？
• RQ2 有限個の共存するアトラクターまたはシンクを有するパラメータに対して、それらの分岐域は位相空間のLebesgueほとんど至るところの点を覆うか？
• RQ3 ヘノン写像が双曲的であるパラメータの集合は、全パラメータ空間において稠密か？
• RQ4 ヘノン写像は、正の測度のパラメータ集合に対して正のリャプノフ指数を示し、かつその振る舞いは確率的安定か？
• RQ5 ヘノン写像に用いられた手法は、例えばミシュルエヴィッチ写像や非一様的双曲性を有する2次写像を有する基底力学を持つスケイプ積へと拡張可能か？

主な発見

• パラメータ (a,b) の正のLebesgue測度の集合に対して、ヘノン写像は一意な絶対連続不変確率測度（ACIP）を有する非一様的双曲的力学を示す。
• ACIPはSRB的かつ物理的である。これは、吸引域内のほとんどすべての初期点に対して、Birkhoff平均が測度に収束することを意味する。
• 不変測度は確率的安定である。微小な確率的摂動の下で、定常測度はノイズが消えるにつれて弱-*収束し、確定的ACIPに近づく。
• 摂動された定常測度の密度は、BaladiとVianaによって示されるように、L¹ノルムにおいてACIPの密度に収束する。
• ヘノン写像の臨界集合は階層的構造を有し、Hausdorff次元はO(1/log(1/b))で推定される。
• これらの結果は、ヘノン写像において、ニューサウンド現象（無限個のシンク）がパラメータ空間においてLebesgue測度ゼロの集合でのみ発生することを支持する。