[論文レビュー] Non-Uniformly Hyperbolic Horseshoes Arising from Bifurcations of Poincaré Heteroclinic Cycles

Jacob Palis, Jean-Christophe Yoccoz|ArXiv.org|Apr 7, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかな1パrameter族の消費的表面微分同相写像におけるPoincaré異宿同調周期の分岐から生じる非一様的双曲的ホースシューについて検討する。ホースシューのハウスドルフ次元が1より大きく、接点に関するやや弱い非退化性条件を仮定することで、著者らは分岐点の近傍におけるほとんどのパrameter値が、ホースシューおよび接点軌道の近傍に吸引子や排除子をもたない非一様的双曲的力学を持つことを証明する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to advance the knowledge of the dynamics arising from the creation and subsequent bifurcation of Poincaré heteroclinic cycles. The problem is central to dynamics: it has to be addressed if, for instance, one aims at describing the typical orbit behaviour of a typical system, thus providing a global scenario for the ensemble of dynamical systems - see the Introduction and [P1, P2]. Here, we shall consider smooth, i.e. $C^\infty$, one-parameter families of dissipative, meaning non-conservative, surface diffeomorphisms. An hetereoclinic cycle may appear when the parameter evolves and an orbit of tangency, say quadratic, is created between stable and unstable manifolds (lines) of periodic orbits that belong to a basic hyperbolic set. The key novelty is to allow this basic set, a horseshoe, to have Hausdorff dimension bigger than one. In the present paper we do assume such a dimension to be beyond one, but in a limited way, as explicitly indicated in the Introduction. [A mild non-degeneracy condition on the family of maps is assumed: at the orbit of tangency the invariant lines, stable and unstable, cross each other with positive relative speed]. We then prove that most diffeomorphisms, corresponding to parameter values near the bifurcating one, are non-uniformly hyperbolic in a neighborhood of the horseshoe and the orbit of tangency; such diffeomorphisms display no attractors nor repellors in such a neighborhood. A first precise formulation of our main theorem is at the Introduction and a more encompassing version at the end of the paper. These results were announced in [PY3].

研究の動機と目的

• Poincaré異宿同調周期の生成と分岐によって生じる力学を理解すること。これは力学系理論における中心的問題である。
• 基本的な双曲的集合（ホースシュー）のハウスドルフ次元が1より大きい系における非一様的双曲的挙動の出現を分析すること。
• このような系がホースシューおよび接点軌道の近傍で吸引子や排除子の形成を回避するための条件を確立すること。
• 一般の1パrameter族が分岐点の近傍で示す典型的な力学系のグローバルな状況を特定すること。

提案手法

• 解析はマルコフ分割を用い、接点およびホースシューの近傍の力学をモデル化するための折りたたみ写像Gを定義する。
• アフィン的写像を用いて力学を表現し、錐条件と歪度制御を用いて双曲性を保証する。
• 頑健な非退化性を保証するため、臨界距離 δ(Q,P′) ≥ 2 max(|Q|^{1−η}, |P′|^{1−η}) を用いた横断的関係を定義する。
• パrameter区間の構成には選択プロセスと強い正則性条件を用い、長方形およびその反復写像の幾何を制御する。
• この方法では、初期の非凸的集合に代えて、より大きな、良好に振る舞う長方形のクラスを備えた遺伝的かつ凹型の横断的関係を導入する。
• 移動作用素のスペクトル解析とギブス測度の構成を用いて、不変集合のハウスドルフ次元を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異宿同調周期の分岐が、どのような条件下で表面微分同相写像において非一様的双曲的力学を生じさせるか？
• RQ2 ホースシューのハウスドルフ次元は、分岐後の非一様的双曲性の出現にどのように影響するか？
• RQ3 接点における安定・不安定多様体の相対的速さは、分岐点近傍の力学的挙動を決定づける上で果たす役割は何か？
• RQ4 一般のパrameter値において、ホースシューおよび接点軌道の近傍で吸引子や排除子が存在しないことが、厳密に確立可能か？
• RQ5 与えられた分岐の下で、不変集合にどのような幾何的・力学的構造（例：放物的核心、臨界長方形）が現れるか？

主な発見

• 分岐点の近傍におけるほとんどのパrameter値において、微分同相写像はホースシューおよび接点軌道の近傍で非一様的双曲的である。
• この近傍では、吸引子や排除子をもたないことが示され、周期的吸引子や発散源の存在が否定される。
• 不変集合のハウスドルフ次元は、移動作用素とギブス測度を用いて推定され、不変集合の横断的ハウスドルフ次元は正かつ有限である。
• パrameter空間の構成には強い正則性条件が用いられ、臨界長方形の数およびそれらの幾何的歪度が制御されていることが保証される。
• 横断的関係は、遺伝的かつ凹型に精錬され、反復された長方形の幾何を帰納的に制御可能になる。
• 例外的集合 E(ω*) のハウスドルフ次元は、不変集合の全次元より厳密に小さいため、非一様構造が示唆される。