[論文レビュー] Non-unipotent representations and categorical centres

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2016

Mathematics and Applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、モノドロミック・ヘッケ代数および幾何的表現論の枠組みにおいて、カテゴリカル中心の文脈で非ユニポテンツ表現を調査する。旗多様体の幾何とトーラス上のワイル群の作用を用いて、カテゴリ $ C^c\tilde{G}_s $ とカテゴリ $ C^c\tilde{B}^2 $ の $ e^s $-中心の間の同値性を確立し、$ \tilde{B}^2 $ および $ Z_s $ 上の層論的構成を用いて非ユニポテンツ表現のカテゴリカル実現を提供する。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive group defined over a finite field F_q. We give a parametrization of the irreducible representations of G(F_q) in terms of (twisted) categorical centres of various monoidal categories associated to G. (Results of this type were known earlier for unipotent representations. Analogous results for the parametrization of character sheaves on G were also known earlier.)

研究の動機と目的

• 幾何的表現論とカテゴリカル中心の文脈における非ユニポテンツ表現を理解すること。
• カテゴリ $ C^c\tilde{G}_s $ と $ C^c\tilde{B}^2 $ の $ e^s $-中心の間のカテゴリカル同値性を構成すること。
• 漸近的および切断された誘導／制限関手を含むようにモノドロミック・ヘッケ代数の理論を一般化すること。
• $ \tilde{B}^2 $、$ Z_s $、および $ \tilde{G}_s $ の幾何を $ \bar{\mathbb{Q}}_l $-層とワイル群の作用を用いて分析すること。
• カテゴリカル中心構成を通じて、非ユニポテンツ表現の層論的実現を提供すること。

提案手法

• 再帰的代数群の表現を記述するために、モノドロミック・ヘッケ代数およびその漸近的版を用いる。
• ワイル群と $ G $ の最大トーラス $ T $ の正規化部分群の作用を用いて、$ \tilde{B}^2 $ および $ Z_s $ 上に層を構成する。
• 切断された誘導、制限、および畳み込み関手を適用して、$ C^c\tilde{B}^2 $ 上にモノイダル構造を定義する。
• $ w \in W $ に対して、単純な反転 $ \sigma \in S $ の上への持ち上げを用いて $ \dot{w} \in N_T $ を定義し、ティーツの結果によりその定義の整合性を保証する。
• $ \{ \dot{\sigma} \mid \sigma \in S \} $ によって生成される群 $ N_0 T $ を用いて、層のモノドロミーと構造を制御する。
• $ s_\infty = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} s_n $ の極限を適用して、特徴のパrameter空間を定め、関連する $ \bar{\mathbb{Q}}_l $-層を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ユニポテンツ表現は、旗多様体上の層論的構成を用いてどのようにカテゴリカルに実現可能か？
• RQ2 $ C^c\tilde{G}_s $ のカテゴリと $ C^c\tilde{B}^2 $ の $ e^s $-中心との間の明確な関係は何か？
• RQ3 切断された誘導および制限関手は、$ C^c\tilde{B}^2 $ 上のモノイダル構造とどのように作用するか？
• RQ4 $ \dot{\sigma} $ によって生成される群 $ N_0 T $ は、モノドロミック・ヘッケ代数を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 漸近的ヘッケ代数は、非ユニポテンツ設定におけるカテゴリカル中心とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、$ C^c\tilde{G}_s $ と $ C^c\tilde{B}^2 $ の $ e^s $-中心の間の自然な同値性を確立し、非ユニポテンツ表現のカテゴリカル枠組みを提供する。
• 単純な反転の持ち上げを用いた $ \dot{w} \in N_T $ の構成は、すべての $ w \in W $ に対して定義可能であり、モノドロミック・ヘッケ代数における整合性を保証する。
• $ X $ および $ T $ が $ \mathbb{F}_q $ 上に定義されているとき、層 $ L = \alpha_! \bar{\mathbb{Q}}_l \in D(X) $ は自然に $ D_m(X) $ の対象となる。これは幾何と表現論を結ぶ。
• $ W $ 上の部分順序は $ \bar{G}_w = \bigcup_{y \leq w} G_y $ を満たし、$ G $ 内の軌道の閉包性質を制御する。
• $ \omega \in \kappa^{-1}(w) $ を用いて $ w \cdot t = \omega t \omega^{-1} $ として $ W $ が $ T $ 上に作用する方法は、定義が明確であり、構成の中心的役割を果たす。
• $ s_\infty = \bigcup_n s_n $ の極限は、$ T_n $ の特徴のパラメータ空間を提供し、$ \tilde{B}^2 $ 上の $ \bar{\mathbb{Q}}_l $-層の構成を可能にする。