[論文レビュー] Non-unique ergodicity for deterministic and stochastic 3D Navier--Stokes and Euler equations

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2022

Navier-Stokes equation solutions被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、新しい確率的凸統合法を用いて、確定的および確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式に対して、無限に多くの定常的かつ混合的解の存在を確立する。解は正則性空間 $C({\mathbb{R}};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}({\mathbb{R}};L^{2})$ に属し、$\vartheta>0$ を満たす。この手法により一様なモーメントバウンディングが得られ、非一意的混合性、粘性係数ゼロ極限、および異常なエネルギー散逸に関する結果が得られる。

ABSTRACT

We establish the existence of infinitely many stationary solutions, as well as ergodic stationary solutions, to the three dimensional Navier--Stokes and Euler equations in both deterministic and stochastic settings, driven by additive noise. These solutions belong to the regularity class $C(\mathbb{R};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}(\mathbb{R};L^{2})$ for some $\vartheta>0$ and satisfy the equations in an analytically weak sense. The solutions to the Euler equations are obtained as vanishing viscosity limits of stationary solutions to the Navier--Stokes equations. Furthermore, regardless of their construction, every stationary solution to the Euler equations within this regularity class, which satisfies a suitable moment bound, is a limit in law of stationary analytically weak solutions to Navier--Stokes equations with vanishing viscosities. Our results are based on a novel stochastic version of the convex integration method, which provides uniform moment bounds locally in the aforementioned function spaces.

研究の動機と目的

• 3次元確率的および確定的ナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式に対して、無限に多くの定常的かつ混合的解の存在を確立すること。
• 解の非一意性の文脈において、粘性係数ゼロ極限および異常なエネルギー散逸を分析すること。
• 臨界関数空間における一様なモーメントバウンディングを提供する確率的凸統合フレームワークを構築すること。
• 非一意性が病理的性質ではなく、乱流における物理的混合仮説を支持する一般的な特徴であることを示すこと。
• 不変測度および定常分布を用いて、高レイノルズ数領域における解の統計的挙動を特徴付けること。

提案手法

• 加法的ノイズを伴うSPDEに特化した、確率的変種の凸統合法を導入する。
• 反復的に近似解 $v_{q+1}$ およびレイノルズ応力 $\mathring{R}_{q+1}$ を構築し、$C({\mathbb{R}};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}({\mathbb{R}};L^{2})$ における一様なモーメントバウンディングを保証する。
• 滑らか化処理と間欠的ジェット構成を用いて、反復スキームにおける正則性とエネルギーレベルを制御する。
• 確率的パrameterと確率的摂動を用いて、不変測度および混合的定常解の存在を保証する。
• 解の正則性および応力テンソルの正則性を制御するため、$\rho$, $a_{(\xi)}$, および $\gamma_\xi$ に対する補間およびノルム推定を適用する。
• 再帰的推定と補間を用いて $\|a_{(\xi)}\|_{C^N_{t,x}}$ および $\|\rho^{1/2}\|_{C^m_{t,x}}$ のバウンディングを確立し、必要な関数空間における収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元確率的ナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式に対して、無限に多くの定常解が存在しうるか？
• RQ2 解の非一意性は確率的設定でも持続するか？ また、それは不変測度および混合的定常分布と結びつけることができるか？
• RQ3 新しい構成法のもとで、粘性係数 $\nu \to 0$ の極限における解の挙動はいかなるものか？
• RQ4 非一意な解の文脈において、異常なエネルギー散逸を厳密に観測できるか？
• RQ5 確率的凸統合法は、臨界正則性空間における一様なモーメントバウンディングを生成可能か？

主な発見

• 本稿では、正則性空間 $C({\mathbb{R}};H^{\vartheta})\cap C^{\vartheta}({\mathbb{R}};L^{2})$ に属する $\vartheta>0$ に対して、無限に多くの定常解の存在を証明する。
• 確率的および確定的3次元ナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式に対して、混合的定常解の存在を確立する。
• 確率的凸統合法により、臨界関数空間における一様なモーメントバウンディングが得られ、収束性および正則性の制御が可能になる。
• 粘性係数ゼロ極限が分析され、ナビエ＝ストークス方程式の解がオイラー方程式の解に一意に収束しないことが示される。
• 高レイノルズ数領域において、異常なエネルギー散逸が物理的乱流理論と整合的に、可能であることが確認される。
• 解の正則性および可積分性を保証するため、$\|a_{(\xi)}\|_{C^N_{t,x}} \lesssim \ell^{-7-6N}(\|\mathring{R}_{q}\|_{C_{[t-1,t+1]}L^{1}}+1)^{N+1}$ のバウンディングが導出される。