[論文レビュー] Non-uniqueness for non-negative solutions of parabolic stochastic partial differential equations

Krzysztof Burdzy, Carl Mueller+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-ホルダー連続な拡散係数 $\sigma$ を持つ、乗法的空間時間白色ノイズを伴う放物型確率的偏微分方程式（SPDE）に対して、非負解の経路的非一意性を確立する。ここで $\sigma(0) = 0$ であり、$0 < p < 1/2$ である。主な結果は、任意の非負解が確率的にゼロ関数に正の時間を費やすことであり、これは、ノイズの影響でゼロから出発した解を区別できないことによる非一意性を示している。これは、ノイズおよび初期データに強い正則性条件が課されても成立する。

ABSTRACT

Pathwise non-uniqueness is established for non-negative solutions of the parabolic stochastic pde $$\frac{\partial X}{\partial t}=\fracΔ{2}X+X^p\dot W+ψ,\ X_0\equiv 0$$ where $\dot W$ is a white noise, $ψ\ge 0$ is smooth, compactly supported and non-trivial, and $0

研究の動機と目的

• 非負解の経路的非一意性が、リプシッツでない $p$-ホルダー連続な拡散係数（$p < 1/2$）を伴う放物型確率的偏微分方程式に対して成立するかを調査すること。特に $\sigma(0) = 0$ の場合を対象とする。
• 人口動態やスーパープロセスのモデルに由来する、拡散係数がゼロでのみリプシッツでない非負解における経路的非一意性のオープンな問題を解決すること。
• 既存の非一意性結果（例：[MMP11]）を、これまでの研究よりより正則性が高い $0 < p < 1/2$ の領域に拡張すること。
• このSPDEのすべての非負解が、ゼロ関数に正のルベーグ測度の時間を費やすこと、これは非一意性を可能にする主要な構造的特徴であることを示すこと。

提案手法

• 非負解 $X$ の $L^2$ ノルムと全質量の比に基づく確率的時間変換 $\tau(t)$ を用いて、$Y(t) = \langle X(\tau(t)), 1 \rangle$ という時間変換過程を構築する。関数 $R(u)$ を用いて $R(u) \geq 1$ を保証する。
• 時間変換過程 $Y(t)$ を用いて、$\hat{Y}(t) = K(k)^{1/(2(p' - 1))} Y(t)$ のためのSDEを導出する。このSDEは $\hat{Y}(t \wedge T_k) = b' \tau(t \wedge T_k) + \int_0^{t \wedge T_k} \hat{Y}_r^{p'} dB_r$ の形を取り、$p' = (p+2)/5$ である。
• 関数 $s(x) = \int_0^x \exp\left(-2b' |y|^{1-2p'}/(1-2p')\right) dy$ にメイヤーの一般化された伊藤の公式を適用し、$Z(t) = s(\hat{Y}(t))$ の局所時刻およびドリフト挙動を解析する。
• $Z(t)$ がゼロで始まり、非負の局所上martingale であることを示し、これにより $Z(t) \equiv 0$ ほぼ everywhere であることを導く。これにより、$Y(t) \equiv 0$ が $Y(t) = 0$ の集合上で成立し、ゼロ関数への正の占有時間に繋がる。
• 時間変換関係 $\tau'(t) \leq 1$ および $\tau'(t) = 1$ a.e. on $\{Y(t) = 0\}$ を用いて、すべての $t > 0$ に対して $\int_0^t \mathbf{1}_{\{\langle X_u, 1\rangle = 0\}} du > 0$ がほぼ everywhere に成り立つことを示す。
• すべての $t > 0$ に対して $\lim_{k \to \infty} V_k = \infty$ ほぼ everywhere であることを利用し、結果をすべての $t > 0$ に拡張し、解がゼロ関数に正の時間に費やすことをほぼ everywhere に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負解の経路的非一意性は、放物型SPDE $\partial_t X = \frac{1}{2}\Delta X + X^p \dot{W} + \psi$ に対して、$0 < p < 1/2$ かつ $\psi \geq 0$ が滑らかで compact な台を持つ場合に失敗するか？
• RQ2 拡散係数 $\sigma(X) = X^p$ が $p < 1/2$ で $p$-ホルダー連続であっても、ノイズおよび初期データの正則性が保たれている場合に、非負解の非一意性が生じ得るか？
• RQ3 このようなSPDEの非負解は、ほぼ everywhere でゼロ関数に正のルベーグ測度の時間を費やすか？ もしそうならば、これは経路的非一意性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 [MMP11] で得られた $1/2 \leq p < 3/4$ の領域における非一意性結果を、$0 < p < 1/2$ の領域に拡張できるか？
• RQ5 無限次元のSPDEに乗法的ノイズが作用する非負解において、経路的非一意性の失敗に、ゼロ関数への占有時間は果たすどのような役割を果たすか？

主な発見

• 非負解の経路的非一意性が、放物型SPDE $\partial_t X = \frac{1}{2}\Delta X + X^p \dot{W} + \psi$ に対して、$0 < p < 1/2$、$\psi \geq 0$ が滑らかで台がコンパクトな場合、初期条件 $X_0 \equiv 0$ において確立された。
• このSPDEのすべての非負解が、ゼロ関数に正のルベーグ測度の時間を費やすことがほぼ everywhere に成り立つ。すなわち、すべての $t > 0$ に対して $\int_0^t \mathbf{1}_{\{\langle X_u, 1\rangle = 0\}} du > 0$ がほぼ everywhere に成立する。
• 時間変換過程 $Y(t) = \langle X(\tau(t)), 1 \rangle$ は、$Y(t)$ に依存するドリフトおよび拡散係数を持つSDEを満たし、その局所時刻解析により、恒等的にゼロとなる非負の上martingale が得られる。
• この結果は、[MMP11] における非一意性結果を、これまでの $1/2 \leq p < 3/4$ とはより正則性が高い $0 < p < 1/2$ の領域に拡張したものである。
• 非一意性の主なメカニズムは、ゼロ関数への正の占有時間であり、これは、拡散係数が $p < 1/2$ で $p$-ホルダー連続であっても、同じ初期条件 $X_0 \equiv 0$ から出発する複数の解がノイズの影響で出現できることを可能にする。
• 証明は、注意深く構築された時間変換 $\tau(t)$ と、変換された過程 $Z(t) = s(\hat{Y}(t))$ の局所時刻およびドリフトを解析するためのメイヤーの一般化された伊藤の公式の使用に依存しており、この $Z(t)$ がゼロで始まり非負の上martingale であることが示された。