[論文レビュー] Non-uniqueness in a nonlinear sharp interface model of cell motility

Leonid Berlyand, Volodymyr Rybalko+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2014

Solidification and crystal growth phenomena被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、小さな界面幅パラメータを持つフェーズフィールド系の漸近的極限を分析することにより、真核細胞の移動を記述する非線形な鋭い界面モデルを研究する。1次元において鋭い界面極限を厳密に正当化し、非線形補正項を含む平均曲率運動方程式を導出し、結合パラメータの大きさに応じて非一意性、不連続な界面速度、ヒステリシス、および移動波解が生じることを明らかにする。

ABSTRACT

We consider a system of two coupled parabolic PDEs introduced in [1] to model motility of eukaryotic cells. We study the asymptotic behavior of solutions in the limit of a small parameter related to the width of the interface in phase field function (sharp interface limit). We formally derive an equation of motion of the interface, which is mean curvature motion with an additional nonlinear term. In a 1D model parabolic problem we rigorously justify the sharp interface limit. To this end, a special form of asymptotic expansion is introduced to reduce analysis to a single nonlinear PDE. Further stability analysis reveals a qualitative change in the behavior of the system for small and large values of the coupling parameter. Using numerical simulations we also show discontinuities of the interface velocity and hysteresis. Also, in the 1D case we establish nontrivial traveling waves when the coupling parameter is large enough.

研究の動機と目的

• 真核細胞の移動を記述するフェーズフィールドモデルの鋭い界面極限を理解すること。
• 1次元における放物型フェーズフィールド系から界面運動方程式への漸近的還元を厳密に正当化すること。
• 結合パラメータが界面ダイナミクス（安定性および非一意性を含む）に与える影響を分析すること。
• 時間依存設定における界面速度の不連続性およびヒステリシス効果を数値シミュレーションで調査すること。
• 十分に大きな結合パラメータに対して、1次元において非自明な移動波解の存在を確立すること。

提案手法

• 小さな界面幅パラメータにおける漸近展開を用いた鋭い界面極限の形式的導出。
• 2つの結合された偏微分方程式を1つの非線形偏微分方程式に還元するための特別な漸近展開の導入。
• エネルギー推定と収束議論を用いた、1次元放物型問題における鋭い界面極限の厳密な正当化。
• 還元された界面方程式の安定性解析により、結合パラメータの臨界値における挙動の定性的な変化を同定すること。
• 時間依存設定における界面速度の不連続性およびヒステリシスを調査するための数値シミュレーション。
• 十分に大きな結合パラメータに対して、1次元における非自明な移動波解の存在証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 界面幅が0に近づくとき、フェーズフィールドモデルの鋭い界面極限はどのように振る舞うか？
• RQ2 鋭い界面極限における有効な界面運動方程式の形は何か？非線形性はその方程式にどのように影響を与えるか？
• RQ3 結合パラメータは界面の安定性およびダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ4 界面速度が不連続性やヒステリシスを示す条件は何か？
• RQ5 1次元モデルにおいて非自明な移動波解は存在するか？また、どのようなパrameter領域でそのような解が得られるか？

主な発見

• 鋭い界面極限により、非線形項を含む平均曲率運動方程式が得られ、1次元において形式的および厳密に導出された。
• 結合パラメータの臨界値における挙動の定性的な変化により、解の非一意性が生じる。
• 数値シミュレーションにより、界面速度の不連続性および時間依存ダイナミクスにおけるヒステリシスの存在が確認された。
• 大きな結合パラメータに対して、1次元において非自明な移動波解が存在し、持続的な移動を示唆する。
• 安定性解析により、結合パラメータの増加に伴い、系の挙動に分岐に類似した遷移が生じることが明らかになった。