[論文レビュー] Non-uniqueness in law of stochastic 3D Navier--Stokes equations

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、加法的、線形的乗法的、非線形の円柱型ノイズの下で、確率的凸結合法を用いて、確率的に強く、解析的に弱い解を構成し、正の確率でエネルギー不等式を破る解が存在することを示すことにより、確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式における法則の非一意性を確立する。構成された解の法則は、ガラーキン近似によって得られる解の法則とは異なり、任意の時間区間 $[0,T]$、$T>0$ において法則の非一意性を証明する。この結果は、バックマスターとビコルの決定論的非一意性枠組みを確率的設定へと拡張し、確率的流体力学における本質的確率的曖昧性を強調する。

ABSTRACT

We consider the stochastic Navier--Stokes equations in three dimensions and prove that the law of analytically weak solutions is not unique. In particular, we focus on three examples of a stochastic perturbation: an additive, a linear multiplicative and a nonlinear noise of cylindrical type, all driven by a Wiener process. In these settings, we develop a stochastic counterpart of the convex integration method introduced recently by Buckmaster and Vicol. This permits to construct probabilistically strong and analytically weak solutions defined up to a suitable stopping time. In addition, these solutions fail the corresponding energy inequality at a prescribed time with a prescribed probability. Then we introduce a general probabilistic construction used to extend the convex integration solutions beyond the stopping time and in particular to the whole time interval $[0,\infty)$. Finally, we show that their law is distinct from the law of solutions obtained by Galerkin approximation. In particular, non-uniqueness in law holds on an arbitrary time interval $[0,T]$, $T>0$.

研究の動機と目的

• 異なるノイズ型の下で、確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式における法則の非一意性を確立すること。
• 凸結合法を確率的設定へと拡張し、確率的に強く、解析的に弱い解の構成を可能とすること。
• このような解が、所定の時刻において正の確率でエネルギー不等式を破ることを示すこと。
• 停止時刻を超えて時間全域にわたる解を構成するための一般化された確率的拡張法を開発すること。
• これらの解の法則が、ガラーキン近似によって得られる解の法則とは異なること、したがって任意の時間区間 $[0,T]$ において法則の非一意性が証明されること。

提案手法

• バックマスターとビコルの凸結合法を、粗いパス理論と確率的PDE技法を用いて確率的設定へと適応する。
• 反復的凸結合スキームを用いて、停止時刻までに確率的に強く、解析的に弱い解を構成する。
• レイノルズ応力とエネルギー偏差の爆発に基づく停止時刻を定義し、その時刻までに解が正則のままであることを保証する。
• 解を停止時刻を超えて時間区間 $[0,\infty)$ 全体にわたって拡張するための一般化された確率的構成法を導入する。
• ウィーナー過程の粗いパスリフトを用い、伊藤および粗いパスの両意味での確率的駆動項を扱う関連する粗いPDEを解く。
• 確率的系から生じる粗いPDEの解の一意性を証明し、伊藤解と粗いパス形式との一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的ノイズを有する確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式において、法則の非一意性が成立するか？
• RQ2 線形乗法的および非線形円柱型ノイズにおいても、法則の非一意性を確立できるか？
• RQ3 確率的凸結合法によって構成された解は、正の確率でエネルギー不等式を破るか？
• RQ4 このような解は、確率的拡張法を用いて時間全域にわたって拡張可能か？
• RQ5 これらの解の法則は、ガラーキン近似によって得られる解の法則とは異なるか？

主な発見

• 加法的、線形乗法的、非線形円柱型ノイズの下で、確率的3次元ナビエ＝ストークス方程式において法則の非一意性が成立する。
• 確率的凸結合法によって構成された解は、確率的に強く、解析的に弱く、所定の時刻において所定の正の確率でエネルギー不等式を破る。
• 一般化された確率的拡張フレームワークを用いて、解を時間全域 $[0,\infty)$ にわたって拡張可能である。
• これらの解の法則は、ガラーキン近似によって得られる解の法則とは異なり、任意の時間区間 $[0,T]$ において法則の非一意性が証明される（$T>0$）。
• 確率的系から生じる粗いPDEの解は一意であり、ほとんど確実に伊藤解と一致するため、確率的定式化の一貫性が保証される。
• 解のノルムは初期データとノイズ強度によって制御され、その境界は粗いパスの正則性およびノイズの $\rho_{\alpha}(B)$-ノルムに依存する。