[論文レビュー] Non-uniqueness results for the anisotropic Calderon problem with data measured on disjoint sets

Thierry Daudé, Niky Kamran+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体がシリンダーに微分同相である場合、ディリクレ境界条件とノイマン境界条件のデータが互いに接続されていない境界成分で測定される非一意性を確立する。スツルム＝リウヴィル作用素のスペクトル理論と等スペクトル変形を用いて、同一の部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像をもたらす、互いに異なる無限次元のポテンシャル族を明示的に構成する。これは、2次元および3次元の設定においても、データが別々の境界部に集められる場合、一意性が成立しないことを示している。

ABSTRACT

In this paper, we give some simple counterexamples to uniqueness for the Calderon problem on Riemannian manifolds with boundary when the Dirichlet and Neumann data are measured on disjoint sets of the boundary. We provide counterexamples in the case of two and three dimensional Riemannian manifolds with boundary having the topology of circular cylinders in dimension two and toric cylinders in dimension three. The construction could be easily extended to higher dimensional Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• 部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像が、ディリクレおよびノイマンのデータが互いに接続されていない境界成分で測定される場合、非等方的カルレドン問題においてリーマン計量およびポテンシャルを一意に特定するかを調査すること。
• 境界付き多様体上の逆スペクトル問題において、一意性が失われる幾何学的および解析的条件を特定すること。
• スツルム＝リウヴィル作用素の等スペクトル変形を用いて、非等方的カルレドン問題における非一意性を示す明示的反例を構成すること。
• 完全または局所的なデータに対する既知の一意性結果を、データ領域が重ならない場合に拡張し、データ領域の重複がないことが、基礎となる計量およびポテンシャルの同定可能性を根本的に変えることを示すこと。

提案手法

• 区間とトーラスまたは円周の積として多様体をモデル化し、計量が1つの変数に依存するようにし、ヘルムホルツ方程式における変数分離を可能にする。
• 角変数におけるフーリエ展開を用いて、非等方的カルレドン問題を1次元のスツルム＝リウヴィル問題の族に還元する。
• ボルグ＝マルチェンコの定理を用いて、1次元問題のスペクトルデータとポテンシャルを関連させ、等スペクトル的ポテンシャルの構成を可能にする。
• パラメータ $k \geq 1$ および $t \in \mathbb{R}$ を用いて、固有関数の対数微分から得られる、明示的なポテンシャル族 $\tilde{V}_{\lambda,k,t}(x)$ を構成し、スペクトルデータを保存する。
• Weyl-Titchmarsh関数を用いて部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像を導出し、等スペクトル的ポテンシャルが、データが接続されていない成分にある場合に同一の写像をもたらすことを示す。
• 関数 $f = h$ のとき、1次元問題のスペクトルデータが $q_{\lambda,V,n} = \frac{[(\log f)']^2}{16} + \frac{(\log f)''}{4} + n^2 + (V(x) - \lambda^2)f(x)$ の組み合わせにのみ依存することを証明し、これにより等スペクトル的変形が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクレおよびノイマンのデータが互いに接続されていない境界成分で測定される部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像が、非等方的カルレドン問題においてリーマン計量およびポテンシャルを一意に特定するか。
• RQ2 非等方的カルレドン問題において、データが分離されている場合に、等スペクトル的変形を用いて明示的な反例を構成できるか。
• RQ3 ディリクレおよびノイマンのデータが境界の別々の連結成分で収集される場合、非一意性を許容する幾何学的および解析的条件は何か。
• RQ4 データが接続されていない場合、関連する1次元スツルム＝リウヴィル問題のスペクトルデータは、完全なディリクレ・トゥ・ノイマン写像とどのように関係するか。
• RQ5 非連結データセットが存在する場合、Weyl-Titchmarsh関数がポテンシャルを一意に特定できない条件は何か。

主な発見

• ディリクレおよびノイマンのデータが接続されていない境界成分で測定される場合、2次元および3次元のシリンダーマニフォールドにおいても、非等方的カルレドン問題における非一意性が成立する。
• 関数 $f = h$ を満たす限り、与えられたポテンシャル $V$ と同一の部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像をもたらす、互いに異なる無限次元のポテンシャル族 $\tilde{V}_{\lambda,k,t}(x)$ を明示的に構成可能である。
• この構成は、固有関数の対数微分から得られる1次元スツルム＝リウヴィル問題の等スペクトル的変形に依存し、パラメータ $k \geq 1$ および $t \in \mathbb{R}$ でパラメータ化される。
• 関数 $f = h$ のとき、1次元問題のスペクトルデータは、$q_{\lambda,V,n} = \frac{[(\log f)']^2}{16} + \frac{(\log f)''}{4} + n^2 + (V(x) - \lambda^2)f(x)$ の組み合わせにのみ依存し、これにより等スペクトル的ポテンシャルが可能になる。
• 部分的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像 $\Lambda_{g,V,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda^2)$ は、このような変形に対して不変であり、すべての $k \geq 1$、$t \in \mathbb{R}$ に対して $\Lambda_{g,V,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda^2) = \Lambda_{g,\tilde{V}_{\lambda,k,t},\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda^2)$ が成り立つ。
• 対照的に、$\Gamma_D$ と $\Gamma_N$ が同じ連結成分にある場合には、1次元問題のスペクトルデータにボルグ＝マルチェンコの定理を適用することで、一意性が成立することが示される。