[論文レビュー] Non-vanishing and sign changes of Hecke eigenvalues for half-integral weight cusp forms

Bin Chen, Jianliang Wu|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、半整数重みのカスプ形式のヘッケ固有値の符号の変化、非消滅、および分布を調査し、平方自由な $ t $ に対する列 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ に注目する。シムーラ上昇と乗法的関数論を用いて、最初の負の係数 $ n_{\mathfrak{f}} \ll (k^2N)^{9/20} $ の上界を確立し、非消滅および符号が変わった係数の正の密度を証明し、$ \mathscr{B} $-自由数論を用いて短区間および等差数列における無限個の非消滅項を示した。

ABSTRACT

In this paper, we consider three problems about signs of the Fourier coefficients of a cusp form $\\mathfrak{f}$ with half-integral weight:\\begin{itemize}\\item[--]The first negative coefficient of the sequence $\\{\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(tn^2)\\}\\_{n\\in \\N}$,\\item[--]The number of coefficients $\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(tn^2)$ of same signs,\\item[--]Non-vanishing of coefficients $\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(tn^2)$ in short intervals and in arithmetic progressions,\\end{itemize}where $\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(n)$ is the $n$-th Fourier coefficient of $\\mathfrak{f}$ and $t$ is a square-free integersuch that $\\mathfrak{a}\\_{\\mathfrak{f}}(t)\ ot=0$.

研究の動機と目的

• 半整数重みカスプ形式の列 $ \{\mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2)\}_{n \in \mathbb{N}} $ における最初の負の係数を特定すること。
• 列 $ \{\mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2)\} $ における同じ符号を持つ係数の数を定量化すること。
• 短区間および等差数列における $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ の非消滅を確立すること。
• 符号の変化に関する先行研究を拡張し、固有値行動の有効な上界および密度推定を提供すること。

提案手法

• 半整数重み形式を整数重みのモジュラー形式に関連付けるためにシムーラ上昇を用い、後者の解析的技法を可能にする。
• 文献 [12, 13] の手法を適用して、$ k $ および $ N $ の関数として最初の負の係数 $ n_{\mathfrak{f}} $ の上界を導出する。
• 乗法的関数論および指数和推定を用いて、非消滅および符号が変わった係数の密度を分析する。
• $ \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $-自由数系を導入し、スieve法および複数の指数和推定を活用して非消滅条件をモデル化する。
• $ \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $ が $ \mathscr{B} $-自由数論の条件を満たすことを確立する。これには、逆数和の収束および対ごとの互いに素性が含まれる。
• 部分積分および $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tp^2) = 0 $ を満たす素数 $ p $ の個数の境界を用いて、収束条件 $ \sum_{b \in \mathscr{B}_{\mathfrak{f}}} b^{-1} < \infty $ を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) < 0 $ かつ $ (n, N/2) = 1 $ を満たす最小の $ n $ は何か？
• RQ2 列 $ \{\mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2)\} $ に含まれる同じ符号を持つ項はいくつで、その自然密度は何か？
• RQ3 係数 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ は短区間および等差数列で非ゼロのままであるか？
• RQ4 非消滅係数の分布は $ \mathscr{B} $-自由数を用いてモデル化可能か？

主な発見

• 列 $ \{\mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2)\} $ における最初の負の係数 $ n_{\mathfrak{f}} $ は、$ n_{\mathfrak{f}} \ll (k^2N)^{9/20} $ を満たし、定数は $ k $ および $ N $ に依存しない。
• $ x $ までにおける非消滅係数 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ の数は、$ \rho_{\mathfrak{f}} x \{1 + O_{\mathfrak{f},\varepsilon}((\log x)^{-1/4 + \varepsilon})\} $ に漸近的に等しい。ここで $ \rho_{\mathfrak{f}} > 0 $ は正の密度定数である。
• $ x $ までにおける正および負の係数 $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ の数は、それぞれ $ \frac{1}{2}\rho_{\mathfrak{f}} x \{1 + O_{\mathfrak{f},\varepsilon}((\log x)^{-1/4 + \varepsilon})\} $ の密度を持つ。
• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ y \gg x^{7/17 + \varepsilon} $ のとき、$ (x, x+y] $ 内に $ \gg_{\mathscr{B}_{\mathfrak{f}},\varepsilon} y $ 個の $ \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $-自由整数 $ n $ が存在し、これにより短区間における $ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) $ の非消滅が保証される。
• 任意の $ q \leq x^{\varepsilon} $ および $ \gcd(a,q) $ がすべての $ b \in \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $ と互いに素であるような等差数列 $ n \equiv a \pmod{q} $ に対して、$ y \gg x^{17/38 + 100\varepsilon} $ のとき、$ \mathfrak{a}_{\mathfrak{f}}(tn^2) \neq 0 $ を満たす $ n $ が $ \gg_{\mathscr{B}_{\mathfrak{f}},\varepsilon} y/q $ 個存在する。
• $ \mathscr{B}_{\mathfrak{f}} $ は $ \sum_{b \in \mathscr{B}_{\mathfrak{f}}} b^{-1} < \infty $ および対ごとの互いに素性の両方を満たし、$ \mathscr{B} $-自由数論への適用が正当化される。