[論文レビュー] Non vanishing divisors for general cyclic covers and their Thomae formula

Yaacov Kopeliovich|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、一般のCP¹上の巡回被覆上に、分岐点の逆像に台を持つ、次数g−1の非正の因子のクラスを導入し、そのヤコビアン像上で標準的テータ関数が消えないことを示す。[BR]、[Na]、[EG]の先行研究を一般化して、非標準的周期の行列式を除き、これらの因子におけるテータ関数の値が分岐点に関して多項式的であることを証明する。一般化されたAccolaフレームワークと、特異な巡回被覆に対してNakayashikiの手法を用いる。

ABSTRACT

Abstract. Let X be a general cyclic cover of CP1 ramified at m points, λ1...λm. we define a class of non positive divisors on X of degree g−1 supported in the pre images of the branch points on X, such that the the standard theta function doesn’t vanish on their image in J(X). These divisors generalize the divisors introduced in [BR] and [Na]. Generalizing the results of [BR],[Na] and [EG] we show that up to a certain determinant of the non standard periods of X, the value of the theta functions at these divisors is a polynomial in the branch point of the curve X. Our treatment is based on a generalization of Accola’s results of the 3 cyclic sheeted cover [Ac1] and a straightforward generalization of Nakayashiki’s approach explained in [Na] in the non singular case for any singular cyclic cover. 1.

研究の動機と目的

• 一般のCP¹上の巡回被覆上に、分岐点の逆像に台を持つ次数g−1の非正因子の新しいクラスを定義すること。
• 非特異の場合を超えて、特異な巡回被覆に対しても、これらの因子におけるテータ関数の非消滅性を拡張すること。
• これらの因子における標準的テータ関数の値が、非標準的周期の行列式を除き、分岐点に関して多項式的であることを確立すること。
• Accolaの3重被覆に関する結果と、Nakayashikiの手法を、任意の特異な巡回被覆に一般化すること。
• 任意の分岐をもつ一般の巡回被覆の文脈において、トマ型公式を統一的に扱う枠組みを提供すること。

提案手法

• m個の分岐点をもつCP¹上の任意の巡回被覆に、3重被覆に関するAccolaの結果を一般化する。
• 被覆X上において、m個の分岐点の逆像に台を持つ次数g−1の因子のクラスを構成する。
• 非特異被覆に対してNakayashikiの手法を用い、周期の一貫した取り扱いを通じて、特異な巡回被覆へと拡張する。
• 非標準的周期を含む行列式因子を導入し、テータ関数の値を正規化する。
• 正規化されたテータ関数の値が、分岐点λ₁,…,λₘに関して多項式的であることを確立する。
• 一般化された枠組みを応用して、特異な巡回被覆上の与えられた因子クラスに対してトマ型公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CP¹上の一般の巡回被覆上に、標準的テータ関数がそのヤコビアン像上で消えないような、次数g−1の非正因子のクラスを定義できるか。
• RQ2 これらの因子における標準的テータ関数の値は、被覆の分岐点にどのように依存するか。
• RQ3 非特異被覆に対してNakayashikiの手法を、特異な巡回被覆へとどの程度まで拡張できるか。
• RQ4 非標準的周期の行列式は、テータ関数の値の正規化において果たす役割は何か。
• RQ5 このような因子に対して、一般の巡回被覆の設定においてトマ型公式を確立できるか。

主な発見

• 分岐点の逆像に台を持つ、次数g−1の非正因子の新しいクラスが、一般のCP¹上の巡回被覆上に構成された。
• これらの因子のヤコビアン像上で、標準的テータ関数が消えないことが示され、[BR]および[Na]の結果が一般化された。
• 非標準的周期の行列式を除き、これらの因子におけるテータ関数の値は、分岐点λ₁,…,λₘに関して多項式的である。
• この枠組みにより、Accolaの3重被覆に関する結果が、特異を含む任意の巡回被覆へと一般化された。
• Nakayashikiの手法が特異な巡回被覆へと成功裏に拡張され、トマ公式の統一的取り扱いが可能になった。
• 正規化されたテータ関数の値が分岐点に関して多項式的であることが確立され、一般の場合の構成的トマ型公式が得られた。