[論文レビュー] Non-vanishing modulo p of central critical Rankin-Selberg L-values with anticyclotomic twists

Miljan Brakočević|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、虚二次体の算術的ヘッケキャラクターに関連するカスプ形式とシータ級数から得られるL関数の、ℓ-冪導手を持つ反アーチクローミックキャラクターによるねじれ付き中央臨界ランキン＝セールバーエル関数の、mod $p$ での消えないことを確立する。この結果は、ヒダとスンの先行研究を高重量ヘッケキャラクターへと拡張したものであり、シュミラ多様体上のCM点のザリスキ・デュアリティおよび明示的なウォルトスブルグの公式に依拠している。

ABSTRACT

We prove non-vanishing modulo p, for a prime $\ell$ different from p, of central critical Rankin-Selberg L-values with anticyclotomic twists of $\ell$-power conductor. The L-function is Rankin product of a cusp form and a theta series of arithmetic Hecke character of an imaginary quadratic field. The paper is concerned with the case when the weight of Hecke character is greater than that of cusp form, so the L-value is essentially different in nature from the one in the landmark work of Vatsal and Cornut-Vatsal on the same theme.

研究の動機と目的

• レベル1の形式から任意のレベル $N \geq 1$ およびネーベンティプス $\psi$ を持つカスプ形式へ、中央臨界エル関数のmod $p$ での消えない性質を一般化すること。
• $m \geq 0$ における $\infty$-型 $(k+m, -m)$ の算術的ヘッケキャラクター $\lambda$ へ結果を拡張すること。これは、従来の研究で $m=0$ であったのと異なる。
• カスプ形式の重さよりもヘッケキャラクターの重さが高い場合の非消えを確立すること。これは古典的状況とは異なったエル関数の性質をもたらす。
• 非分裂素数が $N$ を割る場合に、特にその点で非消えを保証する、反アーチクローミックねじれの導手に関する明確な条件を提供すること。
• 近い将来の同伴論文で、反アーチクローミック $p$-進エル関数の $\mu$-不変量を計算する基盤を築くこと。

提案手法

• ヒダが [Hi04] および [Hi10a] で開発した、モジュラー・シュミラ多様体上のCM点のザリスキ密度を用いる。
• 最近 [Hi10b] で計算された明示的ウォルトスブルグの公式を用いて、エル関数の値と代数的周期を関係づける。
• 代数的表現 $\pi_{\mathbf{f}}$ と関心のあるエル関数を結びつけるために、$\mathrm{Res}_{M/\mathbb{Q}}G$ への基本拡大の理論を用いる。
• 導手が $\ell$-冪で、非分裂素数において十分に分岐する $\ell$-冪導手を持つヘッケキャラクター $\lambda = \lambda_0 \chi_0$ を構成する。
• チェボタレフの密度定理を用いて、$a(l,f) \not\equiv 0 \pmod{p}$ を満たす素数 $l$ を構成し、これによりエル関数の値が mod $p$ で消えないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カスプ形式とシータ級数のランキン＝セールバー積の中央臨界エル関数が、mod $p$ で消えない条件は何か？
• RQ2 ヘッケキャラクターの重さが $m > 0$ でカスプ形式よりも高い場合、このようなエル関数の mod $p$ での非消え性はどのように変化するか？
• RQ3 非分裂素数が $N$ を割る場合、反アーチクローミックねじれの導手の深さが非消え性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 適切な分岐および線形独立性の仮定の下で、$\ell \mid N$ の場合に非消え性が確立可能か？
• RQ5 このようなエル関数の代数的および $p$-進特殊値は、特に $\mu$-不変量の文脈でどのように関係するか？

主な発見

• 正の密度を占める $\ell$-冪導手を持つ反アーチクローミックねじれ $\chi$ に対して、中央臨界エル関数 $L(1/2, \hat{\pi}_{\mathbf{f}} \otimes \lambda^{-})$ は mod $p$ で非ゼロである。
• 非消え性は、非分裂素数において十分に分岐する条件 $c_{ns} = \prod_{l \mid N_{ns}} l^{\tilde{\nu}(l)}$ で $\tilde{\nu}(l) \geq \nu(l)$ を満たす反アーチクローミックねじれ $\chi_0$ に対して成立する。
• $\ell \mid N$ の場合でも、ガロア表現 $K = \overline{\mathbb{Q}}^{\ker \bar{\rho}}$ と $\mathbb{Q}(\mu_{\ell^\infty})$ が線形独立である限り、結果は有効である。
• 特に $\pi_{\mathbf{f},\ell}$ が特別表現である場合、$\ell \mid N$ であっても、非消え性は条件なしに確立される。
• 本証明は、$a(l,f) \not\equiv 0 \pmod{p}$ かつ $l \equiv v(r_0 q_0)^{-1} \pmod{\ell^s}$ を満たす無限個の素数 $l$ を構成し、これによりエル関数の値が mod $p$ で消えないことを保証する。