[論文レビュー] Non-Wieferich property of prime ideals and a conjecture of Erdös

Ruofan Li, Jiuzhou Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

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ひとこと要約

論文は、数体における素理想の高次アルファ・ウィファイヒャー性を導入し、無撚 primes beyond a boundに対する非存在を証明し、代数整数のべーた整指数展開のべーた-デジットの分布を漸近的に等分布させることを確立し、Dupuy–Weirichの結果を拡張し、Erdősのデジタル予想へ対応する。

ABSTRACT

Let $K$ be a number field with ring of integers $\mathcal{O}$ and $α\in\mathcal{O}$. For any prime ideal $\mathfrak{p}$ of $\mathcal{O}$, we obtain its higher $α$-Wieferich property, which implies a nonexistence theorem for higher Wieferich unramified prime ideals. If $β\in\mathcal{O}$ is relatively prime to $α$ and all prime ideal factors of $(β)$ are unramified and have residue degree $1$, we apply our higher $α$-Wieferich property to establish the asymptotic equidistribution of digits in $β$-adic expansions of $α^n$, which is a generalization of the Dupuy-Weirich theorem. When $(β)$ have ramified prime ideal factors, we also obtain a result on the block complexity of $β$-adic expansions of $α^n$.

研究の動機と目的

• 数体における素理想の高次アルファ-Wieferich 振る舞いを動機づけ、研究する。
• 数体上の beta-adic 展開へ Dupuy–Weirich 型のデジタル分布結果を一般化する。
• べーたのべき乗のデジット omissions に関する Erdős 型予想との関連を調べる。
• 分岐が生じる場合の beta-adic 展開の漸近的結果と複雑さ指標を提供する。
• 剰余層をまたぐリ lifting 性質を分析するための p-adic および Teichmüller 機構を開発する。

提案手法

• Reduction map G_r -> G_{r-1} の核の大きさを用いて alpha-Wieferich を r で定義する。
• α が根なしゆえに、r-v ≡ 1 (mod e) でない限り核の大きさは 1、そうであれば核の大きさは p While, なお r の差は mod e。
• (O_p^×) を分解し Teichmüller の lifting を用いて階数と核を分析する。
• beta-adic 展開を確立し、デジット頻度 f_{α,n,m}(b) を定義し、Cesàro 平均 f_{α,m}(b) を研究する。
• 中国の剰余定理を用いて beta- adic digits を局所的な G_k と関連付け、等分布を得る。
• β が分岐成分を持つ場合の C(α) のブロック複雑さを、分岐指数と剰余度の漸近を用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体における素理想で高次アルファ-Wieferich 性が現れるか、無撚 primes に対して境界内に収まるか？
• RQ2 α^n の beta-adic 展開のデジットは natural digit set の各デジットに対して等分布するか？
• RQ3 Dupuy–Weirich 型のデジタル結果を Q から一般の数体へ一般化できるか？
• RQ4 β の分岐の有無は beta-adic 展開のブロック構造と複雑さにどう影響するか？
• RQ5 これらのデジタル性と Wieferich 性は Erdős 型の冪とデジット omissions に関する予想へ何を示唆するか？

主な発見

• 無撚素理想 p に対して、Ker(G_r -> G_{r-1}) が r ≡ v+1 (mod e) のときのみサイズ p、そうでない場合はサイズ 1、従って無撚 p はすべての大きな r に対して α-Wieferich にはなり得ない。
• 適切な条件の下で（β が無撚素因子を持ち、α が β と互いに素、α が根ではない場合）、α^n の β-adic デジットは m → ∞ のとき漸近的に一様分布し、頻度は 1/|D|。
• (β) が分岐素因子を持つ場合でも、層の分岐指数と剰余度に基づくブロック複雑さ C(α) の式を導出できる（C(α) = [sum g_j e_j^{-1} log p_j] / [sum g_j f_j log p_j]）。
• これらの結果は Dupuy–Weirich のデジタル分布定理を Q から一般の数体へ拡張し、数体における高次 α-Wieferich 現象の枠組みを提供する。
• β-adic 展開の枠組みを開発し、分岐がある場合の等分布結果とブロック複雑性解析を可能にする。