[論文レビュー] Non-zero degree maps between 3-manifolds

Shicheng Wang|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Geometric and Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体間の非ゼロ次数写像を調査し、次数1写像に関する基礎的結果、次数1写像による部分順序を用いた位相的複雑度、写像および自己同型の標準形、被覆次数について述べている。任意の閉じた3次元多様体は、高々有限個の幾何的3次元多様体を1-支配する。また、固定点理論や3次元多様体位相における力学系への応用を含む、ピンチ写像としての次数1写像の標準形を確立している。

ABSTRACT

First the title could be also understood as ``3-manifolds related by non-zero degree maps" or "Degrees of maps between 3-manifolds" for some aspects in this survey talk. The topology of surfaces was completely understood at the end of 19th century, but maps between surfaces kept to be an active topic in the 20th century and many important results just appeared in the last 25 years. The topology of 3-manifolds was well-understood only in the later 20th century, and the topic of non-zero degree maps between 3-manifolds becomes active only rather recently. We will survey questions and results in the topic indicated by the title, present its relations to 3-manifold topology and its applications to problems in geometry group theory, fixed point theory and dynamics. There are four aspects addressed: (1) Results concerning the existence and finiteness about the maps of non-zero degree (in particular of degree one) between 3-manifolds and their suitable correspondence about epimorphisms on knot groups and 3-manifold groups. (2) A measurement of the topological complexity on 3-manifolds and knots given by "degree one map partial order", and the interactions between the studies of non-zero degree map among 3-manifolds and of topology of 3-manifolds. (3) The standard forms of non-zero degree maps and automorphisms on 3-manifolds and applications to minimizing the fixed points in the isotopy class. (4) The uniqueness of the covering degrees between 3-manifolds and the uniqueness embedding indices (in particular the co-Hopfian property) between Kleinian groups. The methods used are varied, and we try to describe them briefly.

研究の動機と目的

• 閉じた3次元多様体間における非ゼロ次数写像の存在および有限性、特に次数1写像の調査。
• 次数1写像を用いた部分順序としての3次元多様体の定式化と、位相的複雑度の測定。
• 非ゼロ次数写像および自己同型の標準形の確立。2次元におけるニールセン＝サーストン分類に類似。
• クライン群および3次元多様体の文脈における被覆次数の一意性と埋め込みインデックス（例えば、コホープ型性質）の研究。
• 幾何的群論、固定点理論、3次元多様体上の力学系の問題へのこれらの結果の応用。

提案手法

• 3次元多様体の構造と写像を分析するため、ターファンの幾何化とJSJ分解の利用。
• 特異的および埋め込み可能なターファンノルム、特にガバイの結果（両者の等価性）を用いて、次数1写像の研究。
• 表現の体積と幾何的次数の議論（例えば、曺とポルティ＝レッツニコフによるもの）を用いて、1-支配写像の有限性の証明。
• ファイバーを保存する写像と分岐被覆を用いて、セイフェルトおよび双曲的多様体上の次数1およびそれ以上の次数の写像の分類。
• ハーケンおよびエドモンドスの定理を用いて、2次元における標準形（ピンチおよび分岐被覆）を3次元多様体へと適応。
• オビホルド理論および自己同型の分類を用いて、3次元多様体におけるニールセン＝サーストン型結果の拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた3次元多様体 M が別の閉じた3次元多様体 N を d-支配するかどうかを決定可能か。特に d=1 の場合。
• RQ2 任意の閉じた3次元多様体は、高々有限個の他の閉じた3次元多様体を1-支配するか。
• RQ3 非ゼロ次数写像および自己同型の標準形は何か。また、それらは幾何構造とどのように関係するか。
• RQ4 与えられた3次元多様体のペア M と N に対して、次数の集合 D(M,N) が有限になる条件は何か。
• RQ5 次数1写像が固定点理論および双曲的3次元多様体の構造（例えば、ドン・サージェリーや表面束予想）に与える影響は何か。

主な発見

• 任意の閉じた3次元多様体は、双曲的、H²×E¹、PSL₂(R)、Sol、Nil、S³ の幾何構造を持つ高々有限個の幾何的3次元多様体を1-支配する。
• 閉じた3次元多様体間の次数1写像は、ハーケンおよびウォルダーセンによって、ピンチ写像にホモトープであることが示された。
• 閉じた3次元多様体間の次数3以上の写像は、エドモンドスによって、分岐被覆にホモトープであることが示された。
• π₁が無限大であるセイフェルト多様体において、非ゼロ次数写像は、ファイバーを保存するピンチ写像の後に、ファイバーを保存する分岐被覆にホモトープである。
• 任意の閉じた素な3次元多様体に幾何的分解を持つ自己同型 f の同値類において、ニールセン数 N(f) が実現される。
• 表面束を含まないアーベル被覆の塔を含む閉じた双曲的3次元多様体が存在する。また、小さなアンクノット数を持つホモトピー的ゼロの紐の非自明なドン・サージェリーにより、圧縮不能な表面を持つ多様体が得られる。