[論文レビュー] Nonabelian holomorphic Lie algebroid extensions

Ugo Bruzzo, Igor Mencattini+2 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Čechコサイクルを用いて非可換な正則リー層の拡張を分類し、ホッフシュャイルド＝セルザーのスペクトル系列を正則リー層へ一般化するスペクトル系列を構成する。主な結果は、コンパクト・カハラー多様体上の正則線束のアティヤ層の超コhomologyが自然なホッジ構造（重み (k−1,k)）を有することであり、ホッジ分解により第二段階でスペクトル系列が退化することを示している。

ABSTRACT

We classify nonabelian extensions of Lie algebroids in the holomorphic category. Moreover we study a spectral sequence associated to any such extension. This spectral sequence generalizes the Hochschild-Serre spectral sequence for Lie algebras to the holomorphic Lie algebroid setting. As an application, we show that the hypercohomology of the Atiyah algebroid of a line bundle has a natural Hodge structure.

研究の動機と目的

• 正則リー層の非可換拡張を複素多様体の設定で分類すること。
• このような拡張に関連するスペクトル系列を構成し、ホッフシュャイルド＝セルザーのスペクトル系列を正則リー層の文脈に一般化すること。
• 基底多様体がコンパクト・カハラーであるとき、正則線束のアティヤ層の超コhomologyが自然なホッジ構造を有することを示すこと。
• 障害類および拡張の分類のための明示的Čechコサイクル構成を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、層の短完全系列 $0 \to \mathscr{L} \to \mathscr{A} \to \mathscr{B} \to 0$ を用いて、正則リー層の非可換拡張を定義する。
• 障害類は、リー層の準同型の層のコホモロジーにおけるČechコサイクルを用いて明示的に構成される。
• 同型類の集合が適切な超コホモロジー群上のトロスルをなすことが示される。
• de Rham複体 $\Omega_{\mathscr{A}}^{\bullet}$ に誘導されるフィルトレーションにより、超コホモロジー $\mathbb{H}(X, \Omega_{\mathscr{A}}^{\bullet})$ に収束するスペクトル系列が得られる。
• $E_1$ 項は、アティヤ層の場合に $\mathbb{H}^q(X; \Omega_{\mathscr{L}}^\bullet \otimes \Omega_{\mathscr{B}}^p) \simeq H^q(X; \Omega_X^p) \oplus H^{q-1}(X; \Omega_X^p)$ と記述される。
• 微分 $d_1$ は明示的に $d_1(\xi_q, \xi_{q-1}) = (d_X\xi_q + c_1(\mathscr{M}) \smile \xi_{q-1}, d_X\xi_{q-1})$ と計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則リー層 $\mathscr{B}$ を完全非移行的リー層 $\mathscr{L}$ で拡張できるかどうかを決定する障害類は、コホモロジーにおいてどのように記述されるか？
• RQ2 このような拡張の同型類の集合はどのように分類できるか？
• RQ3 リー層の拡張に関連するスペクトル系列は、正則設定におけるホッフシュャイルド＝セルザーのスペクトル系列をどのように一般化するか？
• RQ4 スペクトル系列がどのような条件下で退化するのか、そしてその場合に超コホモロジーにどのような構造が生じるか？
• RQ5 正則線束のアティヤ層の超コホモロジーはホッジ構造を有するか？

主な発見

• 完全非移行的リー層 $\mathscr{L}$ を用いた正則リー層 $\mathscr{B}$ の拡張の障害は、Čechコサイクルを用いて構成された特定のコホモロジー類に存在する。
• 拡張の同型類の集合は、超コホモロジー群 $\mathbb{H}^1(X; \text{Hom}(\mathscr{B}, \mathscr{L}))$ 上のトロスルをなす。
• リー層の拡張に関連するスペクトル系列は、ホッフシュャイルド＝セルザーのスペクトル系列を一般化し、総てのリー層のde Rham複体の超コホモロジーに収束する。
• 正則線束 $\mathscr{M}$ のアティヤ層 $\mathscr{D}_{\mathscr{M}}$ の場合、微分 $d_1$ は $d_1(\xi_q, \xi_{q-1}) = (d_X\xi_q + c_1(\mathscr{M}) \smile \xi_{q-1}, d_X\xi_{q-1})$ と与えられる。
• 基底多様体 $X$ がコンパクト・カハラーであるとき、スペクトル系列は第二段階で退化し、$d_2 = 0$ であることが示される。
• 超コホモロジー $\mathbb{H}^k(X; \Omega_{\mathscr{D}_{\mathscr{M}}}^{\bullet})$ は、自然なホッジ構造（重み $(k-1,k)$）を有し、$c_1(\mathscr{M})$ によるカップ積と整合するホッジ分解を持つ。