[論文レビュー] Nonabelian localization in equivariant K-theory and Riemann-Roch for quotients

Dan Edidin, William Graham|ArXiv.org|Nov 9, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、滑らかな代数的空間に有限安定化群をもつ複素代数的群が作用する場合の、非アーベル的局所化公式を、等変K理論において確立する。これは古典的な局所化定理を可換群を超えて拡張するものである。主な結果は、固定点の法束および余法束を含む補正項を用いて、中心化群への押し出しにより、グローバルK理論的クラスを回復する、商に関するリーマン・ロッホの公式を提供する。

ABSTRACT

We prove a localization formula in equivariant algebraic $K$-theory for an arbitrary complex algebraic group acting with finite stabilizer on a smooth algebraic space. This extends to non-diagonalizable groups the localization formulas H.A. Nielsen in equivariant $K$-theory of vector bundles and R.W. Thomason for higher $K$-theory of equivariant coherent sheaves. As an application we give a Riemann-Roch formula for quotients of smooth algebraic spaces by proper group actions. This formula extends previous work of B. Toen for stacks with quasi-projective moduli spaces and the authors for quotients by diagonalizable groups.

研究の動機と目的

• 可換群を超えて、非アーベル的局所化定理を等変K理論に拡張すること。
• 非アーベル的群作用の固定点がG不変でない問題を、グローバル安定化群および中心化群の作用を用いて解決すること。
• 滑らかな代数的空間の固有的群作用による商に関するリーマン・ロッホの公式を確立すること。
• トーンおよび著者らの以前の結果を、有限安定化群をもつ非アーベル的状況に一般化すること。
• 固定点上のデータを用いた押し出し構成により、等変K理論的クラスの計算可能な公式を提供すること。

提案手法

• 固定点 $ X^h $ に対して、特異的である $ X_\Psi = \overline{GX^h} $ の代わりに、正則的置換として $ S_X = \{(g,x) \mid gx = x\} $ を用いる。
• 中心化群 $ Z = \mathcal{Z}_G(h) $ を用いて、$ G(Z,X^h) \to G(G,X) $ の押し出し $ \iota_! $ を定義し、固定点上の等変K理論とグローバル理論を関連付ける。
• 共役類 $ \Psi $ に対応する極大イデアル $ \mathfrak{m}_\Psi \subset R(G) $ における局所化に、モリタ同倣および局所化定理を適用する。
• 主要な公式を導出：$ \alpha = \iota_!\left( \frac{\lambda_{-1}((\mathfrak{g}/\mathfrak{z})^*) \cap (\iota^!\alpha)_h }{\lambda_{-1}(N_\iota^*)} \right) $、ここで $ \lambda_{-1} $ は外冪の交代和を表す。
• 群 $ G $ が自由に作用する場合に帰着できるように、有限全射 $ G $-同変被覆 $ X' \to X $ を用いることで問題を簡略化する。
• 群作用の随伴作用を用いて、$ G $-トーラスの接束が $ X \times \mathfrak{g} $ と自然に同一視されることを活用し、幾何学と表現論を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等変K理論における局所化定理を、可換群から非アーベル的群へどのように一般化できるか？
• RQ2 固定点 $ X^h $ がG不変ではなく、$ Z $ 不変である場合、自己交叉公式の代わりに何が役立つか？
• RQ3 滑らかな代数的空間の固有的非アーベル的群作用による商に対して、リーマン・ロッホの公式を確立できるか？
• RQ4 グローバル安定化群 $ S_X $ は、特異的商 $ X_\Psi $ の正則的置換としてどのように機能するか？
• RQ5 非アーベル的局所化公式における正しい補正項は何か？ そして、リー代数および法束を用いてどのように表現されるか？

主な発見

• 本稿は、任意の複素代数的群と有限安定化群をもつ場合に、非アーベル的局所化公式を等変K理論において確立し、ニールセンおよびトーマソンの古典的結果を一般化する。
• 公式は、任意の局所化された等変K理論的クラス $ \alpha \in G(G,X)_{\mathfrak{m}_\Psi} $ を $ \iota_!\left( \frac{\lambda_{-1}((\mathfrak{g}/\mathfrak{z})^*) \cap (\iota^!\alpha)_h }{\lambda_{-1}(N_\iota^*)} \right) $ として表現する。ここで $ \iota^! $ は中心化群への制限および引き戻しを表す。
• 滑らかな $ X $ に対して、グローバル安定化群 $ S_\Psi \subset S_X $ は正則的であり、$ X_\Psi $ が特異的であっても幾何的技法の適用が可能になる。
• 商に関するリーマン・ロッホの公式は、グローバル安定化群からの押し出しを用い、有限被覆と不変量を用いて自由作用の状況に帰着することで証明される。
• この構成は有限押し出しと可換であり、不変量を保つため、自由群作用の状況に帰着して証明を進めることができる。
• 本稿は幾何的補題を証明する：$ G $-トーラスの接束は、随伴作用を用いて $ X \times \mathfrak{g} $ と自然に同型であり、これが主な構成の根拠をなす。