[論文レビュー] Nonadditive statistical measure of complexity and values of the entropic index q

Sumiyoshi Abe, P Landsberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2004

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Tsallisエントロピーに基づく非加法的統計的複雑性測度の2パラメータ族を導入し、既存の複雑性測度を統合する。ロジスティック写像におけるカオスの境界で複雑性測度が最大値を示す最適なエントロピー指数 q* ≈ 1.4336 を特定し、非加法的統計が加法的対比に比べて臨界な複雑性遷移をより正確に捉えることができることを示している。

ABSTRACT

A two-parameter family of statistical measures of complexity are introduced based on the Tsallis-type nonadditive entropies. This provides a unified framework for the study of the recently proposed various measures of complexity as well as for the discussion of a whole new class of measures. As a special case, a generalization of the measure proposed by Landsberg and his co-workers based on the Tsallis entropy indexed by q is discussed in detail and its behavior is illustrated using the logistic map. The value of the entropic index, q, with which the maximum of the measure of complexity is located at the edge of chaos, is calculated.

研究の動機と目的

• 非加法的エントロピーに基づく統一的枠組みにおいて、既存の配置的複雑性の統計的測度を統合すること。
• 可変なエントロピー指数 q を用いた Tsallis エントロピーによる Landsberg 型複雑性測度の一般化。
• 力学系におけるカオスの境界で複雑性測度が最大値を示すような q の最適値を特定すること。
• 非加法的複雑性測度が、従来の加法的測度に比べて臨界遷移をよりよく捉えられることを示すこと。

提案手法

• Tsallis エントロピー Sq[p] と等確率状態（CR）からの一般化された Kullback-Leibler 散逸 Kq[p||peq] の積として、2パラメータ複雑性測度 Cq,q′[p] を定義する。
• q = q′ の単一パラメータの場合に特化し、Cq[q] = Sq[p] · Γq[p] を得る。ここで Γq は等確率からの q-一般化された乖離を表す。
• ロジスティック写像の軌道を、長さ 12 のバイナリ文字列に符号化し、2^12 個の離散状態空間を構築する。
• 長時間の反復（10^6 ステップ）から得た経験的確率 pi を用いて、Sq と Kq の数値評価を可能にする。
• 数値的に ∆q = 1/2 を満たす q* を解くことで、∆q = Sq[p]/Seq[q] を正規化された Tsallis エントロピーとして定義する。
• q の変動に伴う Cq[q] の挙動を解析し、周期的からカオス的へ遷移する臨界点（ac ≈ 1.401155）で最大値を示すことを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロジスティック写像におけるカオスの境界で非加法的複雑性測度が最大値を示すエントロピー指数 q の値は何か？
• RQ2 提案された2パラメータ複雑性測度は、Tsallis エントロピーに基づく既存の測度をどのように統合するか？
• RQ3 非加法的統計力学は、加法的測度に比べて臨界遷移における複雑性をよりよく捉えることができるか？
• RQ4 q が最適化されたとき、一般化された複雑性測度 Cq[q] はカオスの始発点で最大値を示すか？
• RQ5 Tsallis エントロピーと Kullback-Leibler 散逸の間の定量的関係は、複雑性の特徴づけにおいてどのように関与するか？

主な発見

• カオスの境界で最大の複雑性を示す最適なエントロピー指数は q* ≈ 1.433601669 である。
• 複雑性測度 Cq[q] は、ロジスティック写像の臨界パラメータ値 ac ≈ 1.401155189 で正確に最大値に達する。
• q* = 1.4336 を用いた測度 Cq[q] は、標準的な q=1（Boltzmann-Shannon）の場合に比べて顕著に優れている。後者はカオスの境界で最大値を示さない。
• 一般化された乖離測度 Γq の最大値は、∆q = Sq[p]/Seq[q] = 1/2 のときであり、これが最適な q* を定義する。
• 統一された2パラメータ族 Cq,q′[p] は、これまでに提案されたすべての複雑性測度を特別な場合として含む。
• 数値的結果は、q* = 1.4336 を用いた Cq[q] が、周期的からカオス的へ遷移する点で鋭いピークを示すことを確認しており、臨界な複雑性に敏感であることを示している。