[論文レビュー] Nonadiabatic Quantum Annealing for One-Dimensional Trasverse-Field Ising Model

Hitoshi Katsuda, Hidetoshi Nishimori|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、長時間の断熱的遷移に代わって繰り返し短時間の非断熱的アニーリング試行を行う非断熱的量子アニーリング手法を提案している。最終状態を収集することで基底状態を特定する。1次元横磁場イジング模型に対して、解析的および数値的に、計算複雑性がO(N²)のまま維持され、断熱的量子アニーリングと同等であることを示している。また、外部の摂動に対してより高いロバスト性を示す可能性がある。

ABSTRACT

We propose a nonadiabatic approach to quantum annealing, in which we repeat quantum annealing in nonadiabatic time scales, and collect the final states of many realizations to find the ground state among them. In this way, we replace the diffculty of long annealing time in adiabatic quantum annealing by another problem of the number of nonsidabatic (short-time) trials. The one-dimensional transverse-field Ising model is used to test this idea, and it is shown that nonadiabatic quantum annealing has the same computational complexity to find the ground state as the conventional adiabatic annealing does. This result implies that the nonadiabatic method may be used to replace adiabatic annealing to avoid the effects of external disturbances, to which the adiabatic method is more prone than the nonadiabatic counterpart.

研究の動機と目的

• NP-hard問題における指数的になまりの小さいエネルギーギャップを有する場合に生じる断熱的量子アニーリングの長時間アニーリングという課題に対処すること。
• 短時間の非断熱的時間スケールを用いる非断熱的量子アニーリングが、断熱的アニーリングと同等の計算複雑性を達成できるかどうかを検討すること。
• 量子スピン系の基底状態を求めるために繰り返し非断熱的試行を実行する手法の実現可能性と効率性をテストすること。
• 断熱的手法と比較して、非断熱的アニーリングが外部の摂動に対してどれほどロバストであるかを評価すること。

提案手法

• 本手法は、短時間τの繰り返し非断熱的量子アニーリングサイクルを用い、各走行後に最終状態を収集する。
• 時間発展は、時間依存する横磁場を有するイジングハミルトニアンを用いてモデル化され、運動量空間モードに分解される。
• 小さなqモードに対しては、エネルギーギャップが最小化されるt = τ/2の周辺で、動的はランダウ＝ジーナー型遷移として近似される。
• 1回の非断熱的走行後に基底状態にとどまる確率は、経路積分法と放物型円柱関数を用いて推定される。
• 基底状態を発見するのに必要な試行回数の平均は1/P_GSとして近似され、合計時間はτ/P_GSとして解析され、計算複雑性が特定される。
• ln P_GSの積分表現に対して漸近的近似が適用され、リーマン・ゼータ関数ζ(3/2)を含む簡略化された形が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非断熱的量子アニーリングは、1次元横磁場イジング模型において、断熱的量子アニーリングと同等の計算複雑性を達成できるか？
• RQ2 長時間の断熱的遷移を繰り返し短時間の非断熱的試行に置き換えることで、最小アニーリング時間のO(N²)スケーリングが維持されるか？
• RQ3 非断熱的アプローチは、断熱的対応手法よりも外部の摂動に対してよりロバストか？
• RQ4 非断熱的アニーリングにおいて合計時間τ/P_GSを最小化する最適なアニーリング時間τは何か？
• RQ5 基底状態確率P_GSの解析的近似は、シュレーディンガー方程式の数値解とどの程度一致するか？

主な発見

• 1次元横磁場イジング模型における非断熱的量子アニーリングの計算複雑性はO(N²)であり、断熱的量子アニーリングと同等の複雑性を示す。
• 合計時間τ/P_GSを最小化する最適なアニーリング時間τは、τ = (N²/4π²) × ζ(3/2)²で与えられ、ここでζ(3/2) ≈ 2.61248である。
• 基底状態を発見するための最小合計時間は、(N/2π × ζ(3/2))² × e² ≈ 1.27732 × N²としてスケーリングする。
• 個々のqモードに対するシュレーディンガー方程式の数値解は、τ/P_GSがO(N²)としてスケーリングすることを確認し、解析的予測を裏付けた。
• 試行回数の標準偏差は漸近的領域において支配的でないことが示され、O(N²)の複雑性が保たれる。
• 非断熱的手法は、断熱的遷移よりも短時間で、外部摂動に対して感受性が低い時間スケールを有するため、外部摂動に対してよりロバストであると予想される。