[論文レビュー] Nonarchimedean Bornologies, Cyclic Homology and Rigid Cohomology

Guillermo Cortiñas⋆, Joachim Cuntz+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Vを完全な離散付値環とするとき、V代数のボーンロジカル完備化を用いて、有限生成k代数Aのベルトロ・リッジコホモロジーを計算する関手的で明示的なチェーン複体を導入する。この複体がリッジコホモロジーを計算することを確立し、J-Adicボーンロジカル完備化から得られるプロ代数の周期的循環ホモロジーと同型であることを示し、スペクトル半径推定とダガー完備化を介して、リッジコホモロジーと循環ホモロジーを結びつける。

ABSTRACT

Let $V$ be a complete discrete valuation ring with residue field $k$ and with fraction field $K$ of characteristic 0. We clarify the analysis behind the Monsky--Washnitzer completion of a commutative $V$-algebra using spectral radius estimates for bounded subsets in complete bornological $V$-algebras. This leads us to a functorial chain complex for commutative $k$-algebras that computes Berthelot's rigid cohomology. This chain complex is related to the periodic cyclic homology of certain complete bornological $V$-algebras.

研究の動機と目的

• 有限生成k代数のベルトロ・リッジコホモロジーを計算する自然的で明示的かつ関手的なチェーン複体を構成すること。
• 完全なボーンロジカルV代数におけるスペクトル半径推定を用いて、モンスキー–ワシニツキー完備化を明確化すること。
• 可換V代数のボーンロジカル完備化を介して、リッジコホモロジーと周期的循環ホモロジーの間の関手的関係を確立すること。
• 弱完備化を一般化する概念的枠組みを提供し、それをリッジ解析幾何におけるチューブ代数と適切な被覆と関連付けること。

提案手法

• α ∈ [0,1]をパrameterとして、スペクトル半径の成長を制御する有界部分集合を用いて、V代数RにJ-Adicボーンロジカル位相を定義する。
• Jの有限生成V部分代数のスペクトル半径が ≤ ǫ^α となる最小の完備化として、J-Adicボーンロジカル完備化RJ,αを構成する。ここで ǫ = |π| である。
• k代数Aに対して、R = V[A] をA上の自由V代数として、R → A を核Jをもつ商として提示する。
• m ∈ ℕ≥1 に対して、射影系 (RJ,1/m) を構成し、de Rham複体 (RJ,1/m ⊗R Ω*_{R}, d) のホモトピー極限をとる。
• このホモトピー極限複体が、リッジ解析幾何におけるチューブ ]Z[ 上のde Rham複体と準同型的であることを示し、リッジコホモロジーを計算することを裏付ける。
• 平坦性およびダガー連続ホモトピーのホモトピー不変性を用いて、プロ代数 (RJ,1/m) の周期的循環ホモロジーとAの周期的リッジコホモロジーとの間に同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一意的なリフトの選択に依存せずに、リッジコホモロジーを計算する関手的で明示的なチェーン複体を構成可能か？
• RQ2 ボーンロジカル構造を用いて、非有限生成かつ非ネーター的V代数へのモンスキー–ワシニツキー完備化の一般化は可能か？
• RQ3 ボーンロジカル代数における有界部分集合のスペクトル半径とダガー完備化の収束性の間の正確な関係は何か？
• RQ4 混合特徴値における周期的循環ホモロジーとリッジコホモロジーの間に自然な関係は存在するか？

主な発見

• de Rham複体 (RJ,1/m ⊗R Ω*_{R}, d) のホモトピー極限複体は、有限生成k代数Aのリッジコホモロジーを計算する。
• この複体は関手的であり、R → A の提示の選び方に依存しない。ダガー連続ホモトピー不変性によりこれを示す。
• プロ代数 (RJ,1/m) の周期的循環ホモロジーは、Aの周期的リッジコホモロジーと同型である。
• J-Adicボーンロジカル完備化RJ,αは、チューブ代数T1/α(R,J)† ⊗Kの完備化と同型であり、リッジ解析幾何と関連する。
• スペクトル半径条件 ̺(S) ≤ ǫ^α が、RJ,αの完備化を特徴づけ、モンスキー–ワシニツキー完備化を非有限生成代数へ一般化する。
• Sp(RJ,1/m)によるチューブ ]Z[ の適切な被覆が可能であり、この被覆により、これらのアフィノイドダガー空間上のde Rham複体のホモトピー極限によるコホモロジーの計算が可能となる。