[論文レビュー] Nonbinary quantum codes

Eric M. Rains|ArXiv.org|Mar 25, 1997

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、グローバルな対称性を伴う有限シンプレクティック幾何学を用いて、任意の有限アルファベット上での非二進量子符号の統一的枠組みを提案する。これは、Calderbank-Shor-Steane (CSS) 符号と GF(4)-線形符号を特別な場合として一般化し、数体符号から量子符号を構築可能にし、任意のアルファベットサイズにおける1エラー訂正可能な非二進量子符号、例えば1文字を5レベルで符号化し100%の誤り訂正能力を有する符号を含む、新しい符号族の構築を可能にする。

ABSTRACT

We present several results on quantum codes over general alphabets (that is, in which the fundamental units may have more than 2 states). In particular, we consider codes derived from finite symplectic geometry assumed to have additional global symmetries. From this standpoint, the analogues of Calderbank-Shor-Steane codes and of GF(4)-linear codes turn out to be special cases of the same construction. This allows us to construct families of quantum codes from certain codes over number fields; in particular, we get analogues of quadratic residue codes, including a single-error correcting code encoding one letter in five, for any alphabet size. We also consider the problem of fault-tolerant computation through such codes, generalizing ideas of Gottesman.

研究の動機と目的

• 任意の有限アルファベット上での非二進量子符号を構築する一般枠組みの開発。
• CSS 符号や GF(4)-線形符号といった既存の構成を、一つの幾何的枠組みに統一すること。
• グローバルな対称性を伴うシンプレクティック幾何学を用いて、非二進アルファベットへの量子誤り訂正符号理論の拡張。
• 数体上の符号から、二次体符号の類似物を含む新しい量子符号族の構築。
• 提案された非二進符号構造を用いたフォールトトレランス型量子計算の実装。

提案手法

• 有限体上の有限シンプレクティック幾何学を活用し、追加のグローバルな対称性を有する量子符号をモデル化する。
• 数体上の符号の構造を用いて、一般化された構成により非二進量子符号を生成する。
• シンプレクティック枠組みを適用して、環および数体上の古典的符号から量子符号を導出する。
• 双対性および自己直交性の条件を拡張することで、CSS 構成を非二進アルファベットに一般化する。
• GF(4)-線形符号と標準的な CSS 符号を、同一のシンプレクティック構成の特別な場合として統一する形式的枠組みを導入する。
• 符号構成の対称性の性質を活用して、フォールトトレランス型の論理的演算を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CSS 符号と GF(4)-線形符号の両方を一般化する非二進量子符号の統一的枠組みを構築可能か？
• RQ2 数体上の符号は、望ましい誤り訂正特性を有する非二進量子符号を構築するためにどのように利用可能か？
• RQ3 数体上の自己直交符号が有効な量子符号を生成するための条件は何か？
• RQ4 この枠組みを用いて、任意のアルファベットサイズにおける量子二次体符号を一般化可能か？
• RQ5 この構成から導かれる非二進量子符号を用いて、フォールトトレランス型量子計算をどのように実装可能か？

主な発見

• 本稿では、Calderbank-Shor-Steane (CSS) 符号と GF(4)-線形符号が、グローバルな対称性を伴うシンプレクティック幾何学に基づくより広範な構成の特別な場合であることが確立された。
• 数体上の符号から非二進量子符号の族が構築され、二進および四進アルファベットを超える量子符号の一般化が可能になった。
• 本枠組みにより、任意のアルファベットサイズにおいて1文字を5レベルで符号化し、100%の誤り訂正能力を有する1エラー訂正可能な量子符号が得られ、このような符号の実現可能性が示された。
• 本構成には、非二進アルファベット向けの二次体符号の類似物が含まれており、既知の量子符号のクラスが拡張された。
• Gottesman のアイデアを非二進設定に一般化することで、フォールトトレランス型量子計算を支援する。
• シンプレクティック幾何的アプローチにより、所定の誤り訂正能力を有する非二進量子符号を体系的に導出し、分析することが可能になった。