[論文レビュー] Nonbinary Quantum Cyclic and Subsystem Codes Over Asymmetrically-decohered Quantum Channels

Salah A. Aly, Alexei Ashikhmin|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、位相反転エラー（Z）がビット反転エラー（X）よりも頻発する非対称量子チャネルにおいて、非二進非対称量子巡回およびサブシステム符号を構築する2つの一般的な代数的技法を提案する。生成多項式および古典的巡回符号の定義集合を用いて、非対称量子BCH、リード・ソロモン、リード・ムラー符号に加え、サブシステム符号の族を導出し、シフトレジスタを用いた効率的な符号化と、非均等なエラー確率を有する現実的なノイズモデルにおける改善された誤り訂正を可能にする。

ABSTRACT

Quantum computers theoretically are able to solve certain problems more quickly than any deterministic or probabilistic computers. A quantum computer exploits the rules of quantum mechanics to speed up computations. However, one has to mitigate the resulting noise and decoherence effects to avoid computational errors in order to successfully build quantum computers. In this paper, we construct asymmetric quantum codes to protect quantum information over asymmetric quantum channels, $\Pr Z \geq \Pr X$. Two generic methods are presented to derive asymmetric quantum cyclic codes using the generator polynomials and defining sets of classical cyclic codes. Consequently, the methods allow us to construct several families of quantum BCH, RS, and RM codes over asymmetric quantum channels. Finally, the methods are used to construct families of asymmetric subsystem codes.

研究の動機と目的

• 位相反転エラー（Z）がビット反転エラー（X）よりも頻発する非対称量子チャネルにおける量子誤り訂正の課題に対処すること。
• 誤り確率の非対称性を活用した、体系的かつ代数的構造を持つ量子符号の開発により、より高い耐障害性を実現すること。
• 古典的巡回符号が異なる誤り訂正能力を有する場合に、量子符号のCSS構成を非対称設定に拡張すること。
• 古典的巡回符号の生成多項式に基づくシフトレジスタ回路を用いて、効率的なオンライン符号化および復号化を可能にすること。
• 古典的符号の双対性およびネスト構造を活用して、非対称サブシステム符号（ASSC）への構成を一般化すること。

提案手法

• 有限体上の古典的巡回符号の生成多項式および定義集合を用いて、非対称量子符号を構築する。
• 2つの古典的巡回符号 $C_1$ と $C_2$ を用いてCSS構成フレームワークを適用し、$C_2^\bot \subseteq C_1$ を満たすことで、$d_z \geq d_x$ を保証する。
• 非対称量子符号のパラメータを $[[n, k_1 + k_2 - n, d_z/d_x]]_q$ として定義し、$d_z = \text{wt}(C_2)$、$d_x = \text{wt}(C_1)$ とする。
• 巡回符号の代数的構造を活用し、生成多項式の根およびシクロトミックコセットから安定化子生成子を導出する。
• 古典的符号の双対性およびネストコード条件を用いて、自己直交および双対を含むコードの存在を保証し、正当な量子符号構成を実現する。
• 巡回符号の代数的構造を活用し、生成多項式の根およびシクロトミックコセットから安定化子生成子を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的巡回符号を、ZおよびXエラーを異なる確率で訂正できる非対称量子符号へ体系的に変換する方法は何か？
• RQ2 生成多項式および定義集合に課される代数的条件は、所望の最小距離 $d_z$ および $d_x$ を有する非対称量子符号の構成を保証するためにどのようなものか？
• RQ3 2つの古典的巡回符号 $C_2^\perp \subseteq C_1$ を満たす場合に、CSS構成を非対称設定に一般化できるか？
• RQ4 非対称サブシステム符号はどのように古典的巡回符号から導出可能か？また、ゲージキュービット次元 $r$ は誤り訂正に果たす役割は何か？
• RQ5 シフトレジスタに基づく符号化回路を非対称量子符号に適用した場合、実装効率にどのような影響があるか？

主な発見

• 提案手法により、有限体上での古典的巡回符号を用いた非対称量子BCH、リード・ソロモン、リード・ムラー符号の構築が可能となった。
• パラメータ $[n, k_1, 3]_2$ のハミング符号 $C_1$ と設計距離 $\delta \geq 5$ のBCH符号 $C_2$ を用いることで、パラメータ $[[n, k_1 + k_2 - n, d_z/3]]_q$ の非対称量子符号が得られる。
• この構成により $d_z \geq d_x$ が保証され、位相反転エラーがビット反転エラーよりも頻発するチャネルに適した符号が実現される。
• 非対称サブシステム符号は、CSS構成の一般化により導出可能であり、定理10により論理キュービットとゲージキュービット次元の間のトレードオフを可能にする。
• 巡回符号の代数的構造のおかげで、フィードバック付きシフトレジスタを用いた効率的なオンライン符号化および復号化が可能となり、実装上の利便性が向上する。
• すべての安定化子符号（純粋および不純）は、特定の次元および距離条件の下でサブシステム符号に還元可能であり、逆にサブシステム符号も同様に還元可能である。これは、2つの符号クラス間の双対性を示している。