[論文レビュー] Nonbinary Quantum Stabilizer Codes

Alexei Ashikhmin, Emanuel Knill|ArXiv.org|May 1, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限体 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上の自己直交コードを用いて、非二進量子安定化子コードを構築する一般枠組みを確立する。ここで $q = p^m$ は素数冪である。非二進誤り基底とトレースに基づく内積を用いて二進安定化子コードの構成を一般化することで、$q$-元量子コードを古典的自己直交コードと結びつけ、既知のパラメータおよび最小距離を有する量子コードの直接的構成を可能にする。

ABSTRACT

We define and show how to construct nonbinary quantum stabilizer codes. Our approach is based on nonbinary error bases. It generalizes the relationship between selforthogonal codes over $GF_{4}$ and binary quantum codes to one between selforthogonal codes over $GF_{q^2}$ and $q$-ary quantum codes for any prime power $q$.

研究の動機と目的

• 素数冪 $q$ に対して、$\mathbb{F}_{q^m}$ 上の非二進量子安定化子コードへ二進系の理論を拡張すること。
• 古典的自己直交コードを用いて $q$-元量子安定化子コードを体系的に構築する方法を確立すること。
• 体論的道具を用いて、二進の $\mathbb{F}_4$-基礎の安定化子コード構成を任意の素数冪次元に一般化すること。
• 既知の優れた古典的自己直交コードと、高い最小距離を有する新しい非二進量子コードとの間の橋渡しを提供すること。
• $\mathbb{F}_{p^m}$-線形コードが特定のトレースに基づく内積に関して自己直交である場合、そのようなコードがパラメータが予測可能な有効な量子コードを生成することを示すこと。

提案手法

• トレース関数 $\mathop{tr}: \mathbb{F}_{p^m} \to \mathbb{F}_p$ を用いて定義される非二進誤り基底により、$p^m$ 次元ヒルベルト空間上の量子誤り演算子を定義する。
• $\mathbb{F}_{p^m}^n \times \mathbb{F}_{p^m}^n$ 上に、$({\bf a},{\bf b}) * ({\bf a}',{\bf b}') = \mathop{tr}(\langle{\bf a},{\bf b}'\rangle_* - \langle{\bf a}',{\bf b}\rangle_*)$ としてシンプレクティック内積を定義する。ここで $\langle{\bf a},{\bf b}\rangle_* = \sum_i a^{(i)}b^{(i)}$ である。
• この内積に関して自己直交である $\mathbb{F}_p$-線形コード $C \subseteq \mathbb{F}_{p^m}^{2n}$ を用いて量子安定化子コードを構築する。
• コード $C$ の基底ベクトル $({\bf a}_i, \phi({\bf b}_i))$ から生成される安定化子群を用い、$|C| = p^r$ のとき次元 $p^{mn - r}$ のコードを得る。ここで $\phi$ はトレース形式によって誘導される同型写像である。
• $C^\perp \setminus C$ に属するベクトルの重みを用いて最小距離 $d = \min\{\mathop{wt}({\bf v}) \mid {\bf v} \in C^\perp \setminus C\}$ を決定する。
• Bierbrauer および Edel が得た自己直交コードの既知の構成を応用し、パラメータが良好な具体的な量子コードを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数冪 $q$ に対して、$\mathbb{F}_{q^2}$ 上の古典的コードから非二進量子安定化子コードを体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 二進の $\mathbb{F}_4$-基礎の安定化子コード構成を、より高い次元の量子系へ適切に一般化する方法は何か？
• RQ3 トレース関数および関連する内積の選択が、自己直交性条件および得られるコードのパラメータに与える影響は何か？
• RQ4 既存の古典的自己直交コードの族を活用して、高い最小距離を有する新しい非二進量子コードを構築できるか？
• RQ5 $\mathbb{F}_{p^m}$-線形性とトレースに基づく内積に関する自己直交性の関係は、量子コード構築の文脈でどのように解釈できるか？

主な発見

• 本稿は、$q = p^m$ であるとき、$\mathbb{F}_{q^2}$ 上の次元 $r$ の古典的自己直交コード $C$ を用いて、トレースに基づく内積により $[[n, mn - r]]_q$ 量子安定化子コードを構築する。
• 得られる量子コードの最小距離は $d = \min\{\mathop{wt}({\bf v}) \mid {\bf v} \in C^\perp \setminus C\}$ であり、双対コードの重み分布に依存する。
• 既知の自己直交古典的コードから具体的な量子コードが導出され、$[[q^r, q^r - (r+2), 3]]_q$、$[[q^2+1, q^2 - 3, 3]]_q$ および $d=3$ を有する他のコードが含まれる。
• この構成により、$\mathbb{F}_{p^m}$-線形コードがトレース内積に関して自己直交である場合、そのようなコードがパラメータが予測可能な有効な量子コードを生成することが保証され、一般の $\mathbb{F}_p$-線形コードよりも優れた性能を示すと期待される。
• Bierbrauer および Edel の古典的自己直交コードと非二進量子安定化子コードとの間の直接的な関係を確立し、彼らの構成を即座に応用可能にする。
• この枠組みは二進の場合（$q=2$）を一般化し、体論的シンプレクティック形式を用いた非二進量子安定化子コードの統一的アプローチを提供する。