[論文レビュー] Noncausal FIR Zames-Falb Multiplier Search for Exponential Convergence Rate

Jingfan Zhang, Peter Seiler+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Lur’e系における指数的収束レートの推定を目的として、非因果的有限インパulse応答（FIR）Zames-Falb乗数の探索を拡張し、因果的または反因果的乗数と比較して、非因果的乗数がより保守的でない安定性バインディングをもたらすことを示している。変数変換を用いて、時域におけるIQCと周波域におけるρ-IQCフレームワークの間の同等性を確立し、因果的・反因果的・非因果的乗数に適用可能な統一された因子分解法を提案している。数値例を通じて、収束レート推定の改善が確認されている。

ABSTRACT

In the existing literature, there are two approaches to estimate tighter bounds of the exponential convergence rate of stable Lure systems. On one hand, the classical integral quadratic constraint (IQC) framework can be applied under loop-transformation, so the stability of the new loop implies the convergence of the original loop. On the other hand, it is possible to modify the IQC framework, the so-called rho-IQC framework, in such a way that the convergence rate is directly obtained over the original loop. In this technical note, we extend the literature results from the search for a causal finite impulse response (FIR) Zames-Falb multiplier to the noncausal case. We show that the multipliers by the two approaches are equivalent by a change of variable. However, the factorisation of the Zames-Falb rho-IQC is restricted compared to the Zames-Falb IQC, so an unified factorisation is proposed. Finally, numerical examples illustrate that noncausal multipliers lead to less-conservative results.

研究の動機と目的

• 因果的ケースを超えて非因果的FIR Zames-Falb乗数の利用を拡張し、Lur’e系における指数的収束レートの推定をより厳密に行う。
• 非因果的乗数を用いる場合に、時域におけるZames-Falb IQCと周波域におけるρ-IQCフレームワークの間の同等性を変数変換を用いて確立する。
• 因果的・反因果的・非因果的FIR Zames-Falb乗数に適用可能な、IQCおよびρ-IQCフレームワークに共通する統一された因子分解構造を開発する。
• 非因果的乗数が因果的および反因果的代替手法と比較して、より保守的でない収束レート境界をもたらすことを数値的に検証する。

提案手法

• 古典的Zames-Falb乗数フレームワークを非因果的FIR形式に拡張し、より厳密な指数的収束レート解析を可能にする。
• 変数変換を適用して、非因果的乗数を用いる場合に、時域におけるZames-Falb IQCと周波域におけるρ-IQCフレームワークの同等性を示す。
• 因果的・反因果的・非因果的FIR Zames-Falb乗数に適用可能な、統一されたリフトベースの因子分解法を提案し、IQCおよびρ-IQC設定の両方に適用可能である。
• 周波域における条件を計算可能な線形行列不等式（LMIs）に変換するために、Kalman-Yakubovich-Popov（KYP）補題を用いる。
• さまざまなシステムの不確実性と最大勾配を想定した数値例を用いて、乗数タイプごとの収束レート推定を比較する。
• 非因果的行列構造の取り扱いに注意を払い、数値的不安定性を回避するよう、MATLABベースの数値計算を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非因果的FIR Zames-Falb乗数は、因果的および反因果的乗数と比較して、Lur’e系における指数的収束レートの推定をより保守的でなくすることができるか？
• RQ2 非因果的乗数を用いる場合、時域におけるZames-Falb IQCと周波域におけるρ-IQCフレームワークは同等であるか？
• RQ3 因果的・反因果的・非因果的FIR Zames-Falb乗数をIQCおよびρ-IQCフレームワークの両方で一貫して解析可能にする統一された因子分解構造は何か？
• RQ4 因果的・反因果的・非因果的乗数タイプは、奇数非線形性および一般非線形性を有する系の収束レート推定において、どのように性能を発揮するか？
• RQ5 非因果的乗数のMATLABベースのLMIソルバーへの実装に際して、数値的課題が及ぼす影響は何か？

主な発見

• 非因果的FIR Zames-Falb乗数は、因果的および反因果的乗数と比較して、不安定性に近い系において、より保守的でない収束レート推定をもたらす。
• 非因果的乗数を用いる場合、変数変換により、時域におけるZames-Falb IQCと周波域におけるρ-IQCフレームワークは同等である。式(2)のM(z)と式(3)のM(ρz)は、相互に交換可能である。
• 因果的・反因果的・非因果的FIR Zames-Falb乗数に適用可能な、統一されたリフトベースの因子分解が提案され、従来の因子分解における構造的制限を解消した。
• Kalman予想に反する系（例：Ex. 4）では、非因果的乗数が反因果的乗数を上回る性能を示す。具体的には、反因果的乗数がK=12で失敗するのに対し、非因果的乗数は有効なままである。
• 乗数M(z)とM(ρ,z)の結果はほぼ同一であり、同等性が確認されたが、M(ρ,z)はより大きな行列を伴うため、計算コストが高くなる。
• 奇数非線形性では、一般非線形性と比較して、最適な収束レートはそれ以上大きくならない。これは、後者の場合に stricter ℓ₁-ノルム制約が課されるためである。