[論文レビュー] Nonclassical Solutions of Fully Nonlinear Elliptic Equations II. Hessian Equations and Octonions

Nikolaï Nadirashvili, Serge Vladuts|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、24次元におけるオクタニオンの立方形式 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ を用いて、21次元において完全非線形楕円型ヘシアンおよびイェイツ方程式の非古典的粘性解を構成する。関数 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $（$ 1 \leq \delta < 2 $）が $ \mathbb{R}^{21} $ において粘性解であることが示され、このような方程式における $ C^{1,\alpha} $ 正則性境界の鋭さが裏付けられる。

ABSTRACT

We use the octonion algebra to construct singular solutions of Hessian fully nonlinear uniformly elliptic equations in 21 or more dimensions. The regularity of these solutions is the least possible one. The same is proven for Isaacs equtions.

研究の動機と目的

• 完全非線形楕円型方程式が古典的正則性の臨界閾値未満の次元で非古典的粘性解を有することを示すこと。
• 12次元におけるクaternionの類似解の構成を24次元におけるオクタニオンに拡張し、21次元部分空間に制限すること。
• オクタニオンの立方形式 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ が、最良の正則性 $ C^{2-\varepsilon} $ を持つ解を生成し、古典的滑らかさを破ることを示すこと。
• 同じ関数がヘシアンおよびイェイツ型方程式の両方の解であることを示し、既知の正則性結果の最適性を確立すること。

提案手法

• オクタニオン $ o_i \in \mathcal{O} $ を用いたオクタニオンの立方形式 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ を用いて、$ \mathbb{R}^{24} $ 内で次数 $ 3 - \delta $ の同次関数 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ を定義する。
• $ w_\delta $ を $ \mathbb{R}^{24} $ 内の21次元部分空間 $ H' \subset \mathbb{R}^{24} $ に制限し、その上で関数が一様楕円型方程式の粘性解のまま保たれることを示す。
• ヘシアン $ D^2 w_\delta $ の分析により、次数 $ 1 - \delta $ の同次関数であることを示し、単位球面上への固有値写像 $ \Lambda $ を考察する。
• 対称群 $ \Sigma_{21} $ を用いた群論的および対称性の議論により、置換下での固有値の振る舞いを制御する。
• 一様楕円型作用素 $ L_{ab} $ を用いたイェイツ方程式の構造 $ F(D^2 u) = \sup_b \inf_a L_{ab} u = 0 $ を適用する。ここで $ L_{ab} $ は楕円型定数 $ C $ を持つ。
• 補題5.1による証明：任意の $ x, y \in B \setminus \{0\} $ に対して、$ D^2 w_\delta(x) $ および $ D^2 w_\delta(y) $ に直交する行列 $ A \in K_C $ が存在するならば、$ w_\delta $ はイェイツ方程式の粘性解である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 24未満の次元で、完全非線形一様楕円型ヘシアン方程式に対して非古典的粘性解が存在しうるか？
• RQ2 オクタニオンの立方形式 $ P_{24}(x) = \operatorname{Re}((o_1 \cdot o_2) \cdot o_3) $ は、21次元におけるヘシアン方程式の特異解を生成するか？
• RQ3 関数 $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ は、21次元の一様楕円型イェイツ方程式の粘性解であるか？
• RQ4 完全非線形楕円型方程式の粘性解の正則性の鋭い閾値は何か？ そして、特異解の構成によってこれを超えることは可能か？
• RQ5 ヘシアンの線形結合の厳密な双曲型性を用いて、共通の直交する正定値行列を構成し、イェイツ解の条件を満たすことができるか？

主な発見

• $ w_\delta(x) = P_{24}(x)/|x|^\delta $ が $ \mathbb{R}^{24} $ 内の任意の21次元部分空間 $ H' \subset \mathbb{R}^{24} $ に制限された場合、任意の $ \delta \in [1, 2) $ に対して、単位球 $ B \subset \mathbb{R}^{21} $ 内で一様楕円型ヘシアン方程式の粘性解である。
• $ w_\delta $ は十分に小さい $ \varepsilon > 0 $ に対して $ C^{2 - \varepsilon} $ に属するが、これは一般に $ C^{1,\alpha} $ 正則性が最良であり、それを向上させることはできないことを示している。
• 同じ関数 $ w_\delta $ は、$ L_{ab} $ が一様楕円型作用素である形式 $ \sup_b \inf_a L_{ab} u = 0 $ の一様楕円型イェイツ方程式の粘性解である。
• 証明は、任意の $ x, y \in \mathbb{R}^{21} \setminus \{0\} $ に対して、$ D^2 w_\delta(x) $ および $ D^2 w_\delta(y) $ に直交する行列 $ A \in K_C $ が存在することに依拠しており、$ \operatorname{Tr}(A D^2 w_\delta(x)) = \operatorname{Tr}(A D^2 w_\delta(y)) = 0 $ を満たす。このことはイェイツ条件を意味する。
• $ \alpha D^2 w_\delta(x) + \beta D^2 w_\delta(y) $ がすべての $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $ に対して厳密に双曲的であるため、両ヘシアンに直交する正定値行列 $ Q \in K_C $ が存在し、補題5.2の適用が可能になる。
• この構成により、カファレリ＝トゥルディンガーの $ C^{1,\alpha} $ 正則性結果の最適性が示され、ヘシアンの場合でさえ、任意の $ \alpha > 0 $ に対して $ C^{1,\alpha} $ でない解の存在が示された。