[論文レビュー] Noncolliding processes, matrix-valued processes and determinantal processes

Makoto Katori, Hideki Tanemura|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 57被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する非一様性および行列値系を含む一般化された非衝突拡散過程を導入し、それらが行列式およびパフリアン点過程とどのように関連するかを確立する。デュソンのブラウン運動モデルを拡張し、一般化されたブルーの定理を適用することで、著者らは多時刻相関関数が行列式またはパフリアンであることを証明し、N→∞の極限における漸近的法則を導出し、それらをトレーシー・ウィドム分布およびランダム行列理論と結びつける。

ABSTRACT

A noncolliding diffusion process is a conditional process of $N$ independent one-dimensional diffusion processes such that the particles never collide with each other. This process realizes an interacting particle system with long-ranged strong repulsive forces acting between any pair of particles. When the individual diffusion process is a one-dimensional Brownian motion, the noncolliding process is equivalent in distribution with the eigenvalue process of an $N imes N$ Hermitian-matrix-valued process, which we call Dyson's model. For any deterministic initial configuration of $N$ particles, distribution of particle positions of the noncolliding Brownian motion on the real line at any fixed time $t >0$ is a determinantal point process. We can prove that the process is determinantal in the sense that the multi-time correlation function for any chosen series of times, which determines joint distributions at these times, is also represented by a determinant. We study the asymptotic behavior of the system, when the number of Brownian motions $N$ in the system tends to infinity. This problem is concerned with the random matrix theory on the asymptotics of eigenvalue distributions, when the matrix size becomes infinity. In the present paper, we introduce a variety of noncolliding diffusion processes by generalizing the noncolliding Brownian motion, some of which are temporally inhomogeneous. We report the results of our research project to construct and study finite and infinite particle systems with long-ranged strong interactions realized by noncolliding processes.

研究の動機と目的

• 非衝突ブラウン運動を時間に依存する非一様性および行列値系に一般化すること。
• これらの過程の多時刻相関関数が行列式またはパフリアンであることを確立し、行列式点過程の枠組みを拡張すること。
• 粒子数Nが無限大に近づく際の系の漸近的挙動を分析し、ランダム行列理論と結びつけること。
• デュソンのモデル、ヤコビ過程、一般化されたミーランドなど、既知のさまざまな過程を、フリードホルム行列式およびパフリアンを用いた共通の数学的枠組みに統合すること。
• 有限のパフリアン系のスケーリング極限を通じて、無限次元のパフリアン過程の存在を示すこと。

提案手法

• 非衝突拡散過程の遷移密度を、1次元の遷移密度の行列式として表現するため、カライン＝マクレガーの公式を用いる。
• 行列値拡散過程の固有値過程のための確率微分方程式を導出するために、ブルーの定理の一般化版を適用する。
• 非衝突過程の相関構造をフリードホルム行列式およびパフリアンを用いて特徴づけ、行列式点過程の枠組みを一般化する。
• ハリシュ＝チャンドラ／イツィクソン＝ズーバーの積分公式およびリーマン＝リウヴィルの微分積分を用いて、一般化されたミーランド過程の相関核を記述する。
• パフリアンおよび行列式相関関数のN→∞極限を分析し、トレーシー・ウィドム分布を含む普遍的な漸近的法則を導出する。
• 得られた無限粒子系を、GUE、GOE、GSEなどの古典的ランダム行列アンサンブルおよびそれらのβ-アンサンブル（β=1,2,4）と、デュソンモデルを介して結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非衝突拡散過程を、標準的なブラウン運動を超えて、非一様性および行列値系を含む形にどのように一般化できるか？
• RQ2 非衝突過程の多時刻相関関数が、どのような条件下で行列式またはパフリアンであるか？
• RQ3 粒子数Nが無限大に近づく際、これらの過程の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ4 一般化されたミーランドおよび非衝突ブリッジの相関核は、リーマン＝リウヴィルの微分積分とどのように関連するか？
• RQ5 ランダム行列アンサンブルの固有値過程と、N→∞の極限における非衝突拡散過程との間には、どのような関係があるか？

主な発見

• 非衝突ブラウン運動は、β=2のデュソンのモデルとして知られるN×Nのエルミート行列値拡散過程の固有値過程と、法則的に等価である。
• 任意の固定時刻t>0において、非衝突ブラウン運動の粒子位置分布は、カライン＝マクレガーの公式から導かれる相関核を持つ行列式点過程である。
• 非衝突過程の多時刻同時分布は行列式的であり、相関関数はN×N行列のフリードホルム行列式として表現される。
• 時間に依存する非一様性を持つ非衝突ブラウン運動および非衝突一般化ミーランドは、パフリアン過程であり、相関関数はパフリアンとして表現可能である。
• N→∞の極限において、パフリアンおよび行列式構造の漸近的解析により、トレーシー・ウィドム分布を含む普遍的な法則が得られる。
• 一般化されたミーランド過程の相関核は、リーマン＝リウヴィルの微分積分を用いて表現可能であり、解ける非衝突系のクラスを拡張する。