[論文レビュー] Noncolliding Squared Bessel Processes and Weierstrass Canonical Products for Entire Functions

Makoto Katori, Hideki Tanemura|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2010

Random Matrices and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、インデックス $ u > -1 $ の非衝突平方付きBessel過程を研究し、有限粒子系では、連続な相関核を持つ確定的過程であることを証明する。無限粒子系では、初期粒子位置と一致する零点を持つワイエルシュトラス標準積として表現される整関数を用いて、過程が確定的であるための条件を確立する。重要な例として、拡張されたBessel核を持つ定常状態への収束が示される。

ABSTRACT

We consider a particle system of the squared Bessel processes with index $ u > -1$ conditioned never to collide with each other, in which if $-1 < u < 0$ the origin is assumed to be reflecting. When the number of particles is finite, we prove for any fixed initial configuration that this noncolliding diffusion process is determinantal in the sense that any multitime correlation function is given by a determinant with a continuous kernel called the correlation kernel. When the number of particles is infinite, we give sufficient conditions for initial configurations so that the system is well defined. There the process with an infinite number of particles is determinantal and the correlation kernel is expressed using an entire function represented by the Weierstrass canonical product, whose zeros on the positive part of the real axis are given by the particle-positions in the initial configuration. From the class of infinite-particle initial configurations satisfying our conditions, we report one example in detail, which is a fixed configuration such that every point of the square of positive zero of the Bessel function $J_{ u}$ is occupied by one particle. The process starting from this initial configuration shows a relaxation phenomenon converging to the stationary process, which is determinantal with the extended Bessel kernel, in the long-term limit.

研究の動機と目的

• インデックス $ u > -1 $ の非衝突平方付きBessel過程の存在と確定的構造を確立すること、特に反射する原点を伴う $ -1 < u < 0 $ の場合を含む。
• 無限初期粒子配置に対して、定義された非衝突拡散過程が存在するための十分条件を導出すること。
• 初期粒子位置に対応する零点を持つワイエルシュトラス標準積形の整関数を用いて、無限粒子系の相関核を表現すること。
• 特定の初期配置、すなわちBessel関数 $ J_u $ の正の零点の二乗からなる初期配置から出発した過程の長期的挙動を分析し、定常状態への収束を示すこと。

提案手法

• 有限粒子系における多時刻相関関数を連続相関核によって特徴付けるために、確定的点過程理論を用いる。
• 正の実軸上の零点が無限系における初期粒子位置を表すように、ワイエルシュトラス標準積による整関数の構成。
• スペクトル理論とカーネル解析を応用し、初期配置の適切な減衰および分離条件のもとで、無限粒子過程が確定的であることを示す。
• 相関核の漸近的解析を用いて、長時間極限における拡張されたBesselカーネルが制限相関核として得られることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限粒子数の場合に、インデックス $ u > -1 $ の非衝突平方付きBessel過程の非衝突拡散過程が存在する初期配置に関する条件は何か？
• RQ2 無限粒子非衝突系の相関核は、所定の零点を持つ整関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 初期配置が $ J_u $ の正の零点の二乗からなる場合、過程の長期的挙動は何か？また、定常確定的過程に収束するか？
• RQ4 無限時間極限における制限相関核の構造は何か？また、既知の特殊関数とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の固定された有限初期配置に対して、インデックス $ u > -1 $ の非衝突平方付きBessel過程は確定的であり、多時刻相関関数は連続相関核の行列式として与えられる。
• 粒子数が無限大の場合、初期配置が特定の減衰および分離条件を満たしていれば、過程は適切に定義される。これはワイエルシュトラス積表現の収束を保証する。
• 無限粒子系の相関核は、正の実軸上に初期粒子位置を零点とするワイエルシュトラス標準積として構成された整関数を用いて表現される。
• 特定の初期配置（$ J_u $ の正の零点の二乗からなるもの）に対して、過程は緩和現象を示し、法的に拡張されたBesselカーネルを持つ定常確定的過程に収束する。