[論文レビュー] Noncommutative covering projections and $K$-homology

Petr Ivankov|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、C*-代数の厳密に外部的なガロア拡大を用いて、非可換な被覆写像の枠組みを導入することで、被覆写像とK₁-ホモロジーの古典的関係の非可換版を確立する。ユニタリ拡大を用いた安定マルチプライヤ代数における代数的モデルを構築し、位相的K₁₁(X)を非可換C*-代数へ一般化し、このような拡大が存在するのはK₁類が基本群準同型の像にあるときであることを証明する。

ABSTRACT

If $X$ is a topological space then there is a natural homomorphism $π_1(X) ightarrow K_1(X)$ from a fundamental group to a $K_1$-homology group. Covering projections depend of fundamental group. So $K_1$-homology groups are interrelated with covering projections. This article is concerned with a noncommutative analogue of this interrelationship.

研究の動機と目的

• 被覆写像とπ₁(X) → K₁(X)の古典的位相的関係を非可換C*-代数へ拡張すること。
• 基本群の像に由来するK₁-類を捉えるK₁₁(X) ⊂ K₁(X)の非可換類似物を定義すること。
• 厳密に外部的な自己同型とユニタリ拡大を用いて、非可換幾何における被覆写像の代数的モデルを構築すること。
• 安定マルチプライヤ代数とK理論を用いて、位相空間の普遍被覆構成をC*-代数へ一般化すること。

提案手法

• 有限群作用を伴うC*-代数の厳密に外部的なガロア拡大として非可換被覆写像を定義する。
• 標準写像can: A ⊗_{A^G} A → Map(G, A)が同型であることにより、ガロア拡大を特徴付ける。
• K₁(Q^s(A)) ≅ K₀(A)から引き上げられるユニタリ要素を用いて、Q^s(A) = M(A⊗K)/(A⊗K)における安定マルチプライヤ代数内のユニタリ拡大を構成する。
• 普遍係数定理を適用してK₁類と拡大を関連させ、ユニタリのn乗根がマルチプライヤ代数へ引き上げられないことを保証する。
• K¹(Q^s(A))における[u] ≠ 0である条件を用いて、拡大が非自明かつ厳密に外部的であることを保証する。
• K₁₁(X)の非可換版を、構成により非可換被覆写像を生じる要素によって生成されるK¹(A)の部分群として一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K理論とC*-代数のガロア拡大を用いて、非可換幾何における被覆写像をどのように代数的に構成できるか。
• RQ2 基本群の像に由来するK₁-類を分類するK₁₁(X) ⊂ K₁(X)の非可換類似物は何か。
• RQ3 Q^s(A)内のユニタリ要素が、拡大により非可換被覆写像を生じる条件は何か。
• RQ4 位相空間の普遍被覆を、C*-代数の拡大を用いて非可換設定で代数的に再構成できるか。
• RQ5 Cuntz代数O_nは、そのK₀群Z_{n-1}を用いて非可換被覆写像構造を有するか。

主な発見

• 非可換被覆写像が存在するための必要十分条件は、対応するK₁類が基本群準同型π₁(X) → K₁(X)の像にあることである。これは位相的場合の一般化である。
• 非可換被覆写像の構成は、A⊗Kへの拡大として、v^nがM(A⊗K)に引き上げられるがv^i（i < n）は引き上げられないユニタリvを添加することによって達成される。
• n重被覆f:S¹ → S¹の写像コーンC_fに対して、代数的写像コーンC_{C(f)}は、v^n ∈ M(C_{C(f)} ⊗ K)だがv^i ∉ M(C_{C(f)} ⊗ K)（i < n）を満たすユニタリvを用いて、普遍的なn重被覆拡大を許容する。
• K₁₁(X)の非可換一般化は、厳密に外部的な拡大を生じる要素によって生成されるK¹(A)の部分群として定義され、π₁(X)に由来するK₁-類に対応する。
• Cuntz代数O_nはZ_{n-1}-ガロア拡大f: O_n ⊗ K → Ō_nを生じるが、この拡大が厳密に外部的であるかどうかは未だ不明である。
• S³をスペクトルとする連続的トレースC*-代数では、π₁(S³) = 0であるため、非自明な非可換被覆写像は存在せず、これは位相的場合と整合的である。