[論文レビュー] Noncommutative cross-ratio and Schwarz derivative

Vladimir Retakh, Vladimir Rubtsov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換除法環上の非可換なPlücker座標と準行列式を用いて、交比およびSchwarz微分の非可換一般化を導入する。非可換な古典的幾何的恒等式の類似、特に非可換な五芒星（pentagramma mirificum）の構造を確立し、非可換可積分系が非可換な反周期的対称性を持つ再帰関係によって支配されることを示す。

ABSTRACT

We present here a theory of noncommutative cross-ratio, Schwarz derivative and their connections and relations to the operator cross-ratio. We apply the theory to "noncommutative elementary geometry" and relate it to noncommutative integrable systems. We also provide a noncommutative version of the celebrated "pentagramma mirificum".

研究の動機と目的

• 非可換除法環上の準行列式と準Plücker座標を用いて、非可換な交比およびSchwarz微分の理論を構築すること。
• メネラウスの定理やチェバの定理といった古典的幾何定理を、非可換な設定に一般化すること。
• 非可換な五芒星（pentagramma mirificum）の類似を確立し、その再帰関係と反周期的構造を明らかにすること。
• 非可換交比と非可換可積分系との関係、特に高次pentagram写像およびBoussinesq階層について探求すること。
• 非可換可積分モデルや位相的不変量に関する今後の研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 非可換除法環 $ \mathcal{R} $ 上の $ 2 \times n $ 行列の準行列式から導かれる準Plücker座標 $ q_{ij}^k $ を用いて、非可換交比を定義する。
• 準行列式の恒等式を用いて、非可換なPlücker関係式および歪対称性の性質を導出する。
• 非可換交比を $ \kappa(i,j,k,l) = q^j_{kl} q^i_{lk} $ として定義し、非可換な逆元および対合に関する変換則を導く。
• 2次元空間 $ \mathcal{R}^2 $ 内の5つのベクトルに対する再帰関係を導出し、$ x_{k+5} = \overline{x_k} $ を満たす5-反周期的系を得る。
• 非可換五芒星を連続極限によってBoussinesq方程式と関連づけ、非可換可積分階層の存在を示唆する。
• 非可換初等幾何に理論を適用し、制御理論で用いられる演算子的交比と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な交比およびSchwarz微分は、準Plücker座標を用いてどのように非可換な設定に一般化できるか？
• RQ2 準行列式を用いた場合、メネラウスの定理およびチェバの定理の非可換類似はどのように記述できるか？
• RQ3 古典的な五芒星（pentagramma mirificum）の再帰関係は、反周期的対称性を持つ非可換な設定に拡張可能か？
• RQ4 非可換交比は、特に高次pentagram写像において非可換可積分系において果たす役割は何か？
• RQ5 非可換五芒星再帰関係の連続極限から、非可換Boussinesq方程式の類似が生じるか？

主な発見

• 非可換交比 $ \kappa(i,j,k,l) = q^j_{kl} q^i_{lk} $ は、非可換歪対称性を満たす：$ q_{ij}^k q_{jk}^i q_{ki}^j = -1 $。
• 非可換Plücker恒等式が成り立つ：異なる添え字に対して $ q_{ij}^k q_{ji}^\ell + q_{i\ell}^k q_{\ell i}^j = 1 $。
• 5つのベクトルが $ \mathcal{R}^2 $ 内にあるとき、非可換五芒星は $ x_{k+5} = \overline{x_k} $ を満たす5-反周期的系をもたらす。
• 再帰関係は $ x_1 q^1_{32} x_3 q^1_{23} = 1 + x_2 $ およびその巡回的変形として与えられる。
• 系には冗長性がある：奇数番目の左辺を持つ関係から、偶数番目のものも導かれる。これは可換の場合と一致する。
• このような写像の連続極限は、非可換Boussinesq方程式の類似をもたらすと予想され、非可換可積分階層との関係を示唆する。